積分が解けません

質問

∫[a→b] {√(y-a)(b-y)}/y dy = {(√b-√a)^2}π/2

となるらしいのですが、その過程がどうしても分かりません
√の中身を展開して平方完成し円の積分の形にしても積分区間が煩雑になりすぎて解けず、
√を分子分母に掛けて展開してarcsinが出る形にしても結局 ab/y√(y-a)(b-y) の項の積分で止まってしまいます
どうすれば良いのでしょうか

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫[a→b] {√((y-a)(b-y))/y} dy 　　（b＞a・・・としておく）
=∫[a→b](y-a)/y・√((b-y)/(y-a))dy

√((b-y)/(y-a)) = t ・・・(1)とおくと
(b-y)/(y-a) = t^2
y = (at^2 + b)/(1+t^2)
dy = 2t(a-b)/(1+t^2)^2・dt・・・(2)
(y-a)/y = 1 - a(1+t^2)/(at^2 + b)・・・(3)
y = a+0 → t = ∞ , y = b-0 → t = 0
よって
与式 = ∫[∞,0]{1 - a(1+t^2)/(at^2 + b)}・t・(2t(a-b)/(1+t^2)^2)・dt
= 2(a-b)・∫[∞,0]{t^2/(1+t^2)^2}dt + 2a(a-b)・∫[0,∞]{t^2/(at^2+b)(1+t^2)}dt
= 2(a-b)・∫[∞,0]{t^2/(1+t^2)^2}dt + 2a・∫[0,∞]{1/(1+t^2)－b/(at^2+b)}dt
= 2(a-b)・{(-t/2(1+t^2)) + 1/2・arctan(t)}｜[t=∞～0]
+ 2a・｛{arctan(t)}｜[t=0～∞] + (√b/a)・{arctan(√(a/b)・t)}｜[t=0～∞]｝
= (b-a)π/2 + aπ + π(√ab)
= π/2・(√a + √b)^2・・・？（ん！？符号が合わん）
（途中の符号の付け方がとちったかも知れないので一応検算してみて・・！）

お礼

ありがとうございます
おかげ様で理解できました
目からウロコでした

回答No.2

Ae610

ANo.1です。
スミマセン1箇所符号を間違えていました。

（途中から・・・）
2(a-b)・{(-t/2(1+t^2)) + 1/2・arctan(t)}｜[t=∞～0]
+ 2a・｛{arctan(t)}｜[t=0～∞]－(√b/a)・{arctan(√(a/b)・t)}｜[t=0～∞]｝
= (b-a)π/2 + aπ－π(√ab)
= π/2・(√b－√a)^2

失礼しました！