広義積分についての問題です。

質問

∫１／√（ｘ－ａ）・（ｘ－ｂ）ｄｘの広義積分が収束することを示し、値を求めよ。ただし、積分区間はａ～ｂとする。
この問題ですが、どうすればいいのかわかりません。展開の仕方からよかったら教えてください。

回答No.5

mickel131 · ベストアンサー

Siegmundさんが、
「a～b では (x-a)(x-b) < 0 ですから．ちょっと注意しないといけません．
1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として，あとは ・・・」
と指摘されているとおりです。
私の計算はそれを見落としていて、π　になりました。
-i　倍　の答えになるはずだから、　答えは　-iπ　でしょう。
私が最初に間違った答えを書いたので、お困りかと思い、追記しました。
それから、もっと詳しい解答をお望みですか？
私個人はkony0さんのもっと詳しい解説が読みたいですし、
ikecchiさん自身の答案も見たいです。

回答No.4

kony0

まったくの蛇足です。(^^;)
積分を行うだけなら、ベータ関数に持っていくという手もあります。
つまり、x:a→bのとき、y:0→1となるような線形写像y=(x-a)/(b-a)を考えると、
(x-a)(x-b) = (b-a)^2 * y(y-1), dx = (b-a) dy となるので、
あとは#3のsiegmundさんのおっしゃるとおり、√の中が負になることに注意して、
（与式）＝∫1/{i(b-a)√y(1-y)} (b-a)dy = -i ∫y^(-1/2) (1-y)^(-1/2) dy
= -i * B(1/2,1/2) = -i * Γ(1/2)*Γ(1/2)/Γ(1) = -i * (√π)^2 / 1 = -iπ（答）

回答No.3

siegmund

a～b では (x-a)(x-b) < 0 ですから．ちょっと注意しないといけません．
1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として，あとは
(1)　　x = a cos^2θ + b sin^2θ
とおけばいいでしょう．
こうおくと
(2)　　√{(x-a)(b-x)} = (1/2)(b-a) sin 2θ
(3)　　dx/dθ= (b-a) sin 2θ
ですから，もうできたも同然です．
答は -iπ のようです．

回答No.2

hanger

∫１／√（ｘ－ａ）・（ｘ－ｂ）ｄｘ=∫１／√（展開して完全平方式にする)ｄｘ
＝log(x-(a+b)/2+√xの２乗+A)なので
ただしAは定数部分です。

∫１／√ｘの２乗＋Aｄｘ＝log絶対値(x＋√ｘの２乗＋A)を利用しました。
これを範囲をa+1/n～ｂのときとa～ｂ－１/nのときに分けてそれぞれｎを無限大に
したときの極限値が一致することを示せば出来ますよ。
分かりましたか？

回答No.1

mickel131

私の計算では、答えは　π　になりました。