積分

質問

dy/dx = (a + b*sin(w*x))/v - k*y （a, b, w, v and k はコンスタント）の積分の積分方法を知っている方がいましたらおしえてください。

答えは、y = 1/v*(a/k + [b/(w^2+k^2)^(1/2)]*sin(wx + w/k)なのですが、どうやってこの式が導かれるのかがわかりません。。

回答No.2

arrysthmia

丸教えは、したかないんだけどな。

dy/dx = (a + b(sin wx))/v - ky
を移項・整理すると、
ky + dy/dx = (1/v){ a + b(sin wx) }
となる。この式を眺めていると、
k(exp kx)y + (exp kx)(dy/dx) = (1/v){ a + b(sin wx) }(exp kx)
と変形してみたくなる。
なぜなら、左辺が (d/dx){ (exp kx)y } となるから！
両辺を積分して、
(exp kx)y = (1/v) ∫{ a + b(sin wx) }(exp kx) dx.
この右辺を計算すれば、y が解る。

S = ∫(sin wx)(exp kx) dx,
C = ∫(cos wx)(exp kx) dx　と置くと、
部分積分を行って、
S = (-1/w)(cos wx)(exp kx) - (-k/w)C,
C = (1/w)(sin wx)(exp kx) - (k/w)S.
連立方程式を解いて、
S = { 1/(w^2+k^2) }{ -w(cos wx) + k(sin wx) }(exp kx).
文字を少し整理すると、
S = (1/r){ sin(wx - θ) }(exp kx)
ただし
r = √(w^2+k^2), cosθ = k/r, sinθ = w/r.

これを使って、
(exp kx)y = (1/v) { a ∫(exp kx) dx + bS }
= (1/v)[ (a/k)(exp kx) + b(1/r){ sin(wx - θ) }(exp kx) ]
= (1/v){ (a/k) + (b/r) sin(wx - θ) }(exp kx).
両辺を (exp kx) で割って、
y = (1/v){ (a/k) + (b/r) sin(wx - θ) }.

θ の部分が、合わないね。

お礼

arrysthmiaさま

arrysthmiaさんのヒントからchain ruleを思いつかなかったのが恥ずかしい限りですが、まずexp(kx)をかけあわせる発想と、CとSをつかった連立方程式を解くあたりはすごいとしかいいようがありません。。

θの部分が合わないですね。これは私の読んでいるペーパーの著者の間違いでarctan(w/k)、つまりθでよいのでないかと思います。

大変ありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

(ky + dy/dx)(exp kx) を
x で積分して御覧なさい。

お礼

arrysthmiaさま

早速のアドバイスありがとうございます。おそらく(ky + dy/dx)(exp kx) をどうにかするとyを一つの項(たとえばu(y))におさめることができてそこからdu/dxを積分する形にもっていけばよろしいのでしょうか？ただいろいろ試してみましたがどうも元の式、(ky + dy/dx)(exp kx)をうまく変形することができません。。