広義積分が収束する範囲について

質問

広義積分が収束する範囲について

この問題がわかりませんでしたので質問させていただきます。
回答を書き記します。

次の広義積分が収束するようなパラメータの範囲を定めよ。
I=∬D dxdy/|x|^(a)+|y|^(b)
D:x^2+y^2≦1

回答
a>0,b>0のとき
I1=∫（０→１）ｄｙ ∫（０→１）ｄｘ/x^(a)+y^(b) を考えればよい。

x/y^(b/a)=tとおく。 dx/x^(a)+y^(b)=1/y^(λ)×dt/t^(a)+1 となるようにすると

λ+b/a-b=0 すなわち λ=b/a(a-1)

I=∫（０→１）ｄｙ/y^λ×∫（０→y^(-b/a))×dt/t^a+1

ここでy～0のとき
∫（０→y(-b/a)) dt/t^a+1 ～Cy^(-b(1-a)/a), a<1のとき
～C|logy| a=1のとき
～C a>1のとき

となる。 a<1なら Ｉ1～C∫（０→１）ｄｙ で明らかに収束
a=1のときλ＝０で Ｉ１～C∫（０→１）|logy|dyとなりこれも収束
またa>1の場合は Ｉ１～C∫（０→１）ｄｙ/y^λ

以上よりこれが収束するための必要かつ十分な条件はλ<1 すなわち
b/a(a-1)<1 ab<a+b

a=0 またはb=0のとき Ｉ1=∬D dxdy/1+|y|^b などとなり明らかに収束

以上より a≦0 またはb≦０ または ab<a+b

ここまでが回答です。

私はＩをだすところまでは出来たのですが
「ｙ～０のとき～」の文より↓がお手上げです
記号の意味を調べてみたのですが 漸近的に等しい？？という意味で出てきました。
少し自分の力ではここからは解けそうにもありません。
よろしければ「ｙ～０のとき～」から説明をお願いします。
よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

I=∬D[1/{(|x|^a)+(|y|^b)}]dxdy
D:0<x^2+y^2≦1
(a<0)or(b<0)→lim_{(x,y)→(0,0)}[1/{(|x|^a)+(|y|^b)}]=0
(a=0)&(b=0)→lim_{(x,y)→(0,0)}[1/{(|x|^a)+(|y|^b)}]=1/2
(a=0&b>0)or(a>0&b=0)→lim_{(x,y)→(0,0)}[1/{(|x|^a)+(|y|^b)}]=1
だからa≦0またはb≦0のときIは収束する

a>0,b>0のとき
I1=∫_{+0→1}(∫_{0→1}[1/{(x^a)+(y^b)}]dx)dy
x/y^{b/a}=tとおく。
dx/{(x^a)+(y^b)}=(y^{-λ})dt/{(t^a)+1}となるようにすると
λ=b(a-1)/a
f(y)=∫_{0→y^{-b/a}}[1/{(t^a)+1}]dt
とすると
I=∫_{+0→1}{(y^{-λ})f(y)}dy
n>1に対して
F(n)=∫_{(1/n)→1}{(y^{-λ})f(y)}dy
とすると
I=lim_{n→∞}F(n)
1<n<mに対して
F(n)<F(m)だから
F(n)は単調増加となる

a≠1のとき
f(y)
=∫_{0→1}[1/{(t^a)+1}]dt+∫_{1→y^{-b/a}}[1/{(t^a)+1}]dt
<1+∫_{1→y^{-b/a}}(1/t^a)dt
=1+[t^{1-a}/(1-a)]_{1→y^{-b/a}}
=(a-y^{b(a-1)/a})/(a-1)

f(y)
>∫_{1→y^{-b/a}}[1/{2(t^a)}]dt
=(1/2)[t^{1-a}/(1-a)]_{1→y^{-b/a}}
=(1/2)(1-y^{b(a-1)/a})/(a-1)

a<1のとき
f(y)
<(y^{b(a-1)/a}-a)/(1-a)
=(y^{b(a-1)/a})/(1-a)
<(y^λ)/(1-a)

a=1のとき
f(y)
=∫_{0→y^{-b}}[1/(t+1)]dt
=[log(t+1)]_{0→y^{-b}}
=log(1+y^{-b})

a>1のとき
f(y)
=(a-y^{b(a-1)/a})/(a-1)
<a/(a-1)

y<(1/2)^[a/{b(a-1)}]のとき
y^{b(a-1)/a}<1/2
1-y^{b(a-1)/a}>1/2
f(y)
>(1/2)(1-y^{b(a-1)/a})/(a-1)
>1/{4(a-1)}
となる。

a<1なら
F(n)
<∫_{(1/n)→1}{(y^{-λ})(y^λ)/(1-a)}dy
={1/(1-a)}∫_{1/n→1}dy
={1/(1-a)}{1-(1/n)}
<1/(1-a)
F(n)は有界単調増加だからIは収束する

a=1のときλ=0で
F(n)
=∫_{(1/n)→1}log(1+y^{-b})dy
=∫_{(1/n)→1}[log(y^b+1)-blog(y)]dy
=∫_{(1/n)→1}[log(y^b+1)]dy-b∫_{1/n→1}[log(y)]dy
=∫_{(1/n)→1}[log(y^b+1)]dy-b[ylogy-1]_{1/n→1}
=∫_{(1/n)→1}[log(y^b+1)]dy-b[(logn)/n]
<log2
F(n)は有界単調増加だからIは収束する

また
a>1の場合は
λ<1→ab<a+bのとき
F(n)
<∫_{(1/n)→1}{(y^{-λ}){a/(a-1)}dy
={a/(a-1)}∫_{(1/n)→1}{(y^{-λ})dy
={a/(a-1)}[y^{1-λ}/(1-λ)]_{(1/n)→1}
={a/(a-1)}[1-(1/n)^{1-λ}]/(1-λ)
<a/{(a-1)(1-λ)}
F(n)は有界単調増加だからIは収束する

λ=1→ab=a+bのとき
∀K>0に対して
→∃n_0>e^{4(a-1)K}2^[a/{b(a-1)}]
∀n>n_0
↓
F(n)
>∫_{(1/n)→(1/2)^[a/{b(a-1)}}{(y^{-1})[1/{4(a-1)}]}dy
=[1/{4(a-1)}]∫_{(1/n)→(1/2)^[a/{b(a-1)}}(y^{-1})dy
=[1/{4(a-1)}][logy]_{(1/n)→(1/2)^[a/{b(a-1)}]}
=[1/{4(a-1)}](logn-[a/{b(a-1)}]log2)
>[1/{4(a-1)}]{log(n_0)-[a/{b(a-1)}]log2}
>K
↓
lim_{n→∞}F(n)=I=∞
Iは発散する

λ>1→ab>a+bのとき
∀K>0に対して
→∃n_0>{4(a-1)(λ-1)K+2^[a(λ-1)/{b(a-1)}]}^{1/(λ-1)}
∀n>n_0
↓
F(n)
y<(1/2)^[a/{b(a-1)}]のとき
>∫_{(1/n)→(1/2)^[a/{b(a-1)}]}{(y^{-λ})[1/{4(a-1)}]}dy
=[1/{4(a-1)}]∫_{(1/n)→(1/2)^[a/{b(a-1)}]}(y^{-λ})dy
=[1/{4(a-1)}][y^{1-λ}/(1-λ)]_{(1/n)→(1/2)^[a/{b(a-1)}]}
=(n^{λ-1}-2^[a(λ-1)/{b(a-1)}])/{4(a-1)(λ-1)}
>[(n_0)^{λ-1}-1]/{4(a-1)(λ-1)}
>K
↓
lim_{n→∞}F(n)=I=∞
Iは発散する

0<a<1,b>0→a+b-ab=a+b(1-a)>0→ab<a+b
a=1,b>0→a+b-ab=1>0→ab<a+b
以上より a≦0 またはb≦０ または ab<a+b