∫{2√(a^2 - x^2 - y^2)}dy

質問

∫{2√(a^2 - x^2 - y^2)}dy
=y*√(a^2 - x^2 - y^2) + (a^2 - x^2)*arcsin(y/√(a^2 - x^2))
という計算が分かりません。

∫{√(a^2 - x^2)}dy
=(1/2)[x*√(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a)] (a>0)
…という公式は知っています。

a^2 - x^2の部分が(a-x)^2でα=a-xと置いて…と計算したんですが、それは出来ません。
(a-x)(a+x)と展開しても意味が無いし、平方完成でもしようものなら余分な部分が出てきてしまいます。

どうやって計算するのでしょうか？どうか教えてください。

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

ｘ、ｙという二つの変数が含まれるときのｙに關する積分はｘを定数と見做して計算します。ですから貴方が知っているという公式のa^2をa^2-x^2 で置き換えればいいだけのことです。

お礼

なるほど！
つまり、たとえ
∫√(a - y^2)dy
であっても
(1/2)[y*√(a - y^2) + a*arcsin(y/√(a))]
となっていたわけですね。

これはちょっと難しかったですね。
次回も同じようにできるか自信がないです。
というか、自分は
∫√(a - y^2)dy
=(1/2)[y*√(a - y^2) + a*arcsin(y/√(a))]
で覚えておきます。

ありがとうございました！

補足

先ほど、お礼を書いてから今また考えたんですが、
絶対値の問題とかありそうなので、やっぱり元の公式で覚えておきます。
改めて、これは難しいですねぇ…。