大小関係

質問

(212)^(1/3)>3+(26)^(1/3)を示せ。

(左辺)^3-(右辺)^3
=-9x^2-27x+159 ・・・＊
ただしx=(26)^(1/3)
＊にx=3を代入してもし＊＞０だったら、
証明おわりなのですが、・・・
ここから修正した考えができません。
よろしくお願いします。

回答No.10

Tacosan · ベストアンサー

いばらの道とは真逆の「鼻歌をうたいながらスキップできる道」も書いておこう.
f(x) = x^(1/3) は x > 0 で上に凸. つまり x, y > 0 なら
f((x+y)/2) > [f(x) + f(y)]/2.
ここで x = 26, y = 27 を入れれば終わり.

お礼

回答ありがとうございます
数学ができるというのはこういう解法ができることなのでしょうね。
グラフを利用するというのは考えますが、設定のしかたがうまいと
思いました。

回答No.9

info22_

>(左辺)^3-(右辺)^3
>=-9x^2-27x+159 ・・・＊
>ただしx=(26)^(1/3)

>＊にx=3を代入してもし＊＞０だったら
>証明おわりなのですが、・・・

「＊＞０」とはなりませんよ。
「＊＜０」となります。

f(x)=-9x^2-27x+159 ・・・＊
とおくと
f(3)=-3＜0
なので証明できませんね。

以下のように証明すれば良いでしょう。

A=(左辺)^3-(右辺)^3=159-[9*26^(2/3)+27*26^(1/3)]
=159-[{9^3*26^2}^(1/3)+{27^3*26}^(1/3)]
=159-[492804^(1/3)+511758^(1/3)]
=159-[B+C] …(1)

ここで B=492804^(1/3), C=511758^(1/3)
78^3=474552<492804<79^3=493039 ⇒ 78<B<79 …(2)
79^3=493039<511758<80^3512000 ⇒ 79<C<80 …(3)

(2)+(3)より
78+79=157<B+C<79+80=159

したがって(1)から
159-159=0＜A=159-[B+C}＜159-157=2
∴A=(左辺)^3-(右辺)^3＞0

∴(左辺)^3＞(右辺)^3

(左辺)＞0,(右辺)＞0なので
　∴(左辺)＞(右辺)

お礼

回答ありがとうございます
B+Cを求めようという発想は、当たり前なようで
考えが及ばない解法と思いました。

回答No.8

naniwacchi

#1です。

#6さんの言われているとおり、早合点でした。
3+ 26^(1/3)
＝ 26^(1/3)* { 1+ (27/16)^(1/3) }
＝ 26^(1/3)* { 1+ (1+ 1/26)^(1/3) }

ですね。
失礼しました・・・

回答No.7

Tacosan

あ～, 単純に「x = 26^(1/3) なんだから x^3 が出れば力ずくでいけそう」が発端です＞#5. ただ, そこで何も考えずに x を掛けるのはいくらなんでもアホだろう, x^2 の項くらいは消したいね (1次式にして腕力勝負) と思えば x-3 を掛けるという方針は立つかなぁと.

回答No.6

nag0720

＃１さんの回答で、
(右辺)＝3+ 26^(1/3)＝ 27^(1/3)+ 26^(1/3)
から
(右辺)＝ 26^(1/3)* (27/26+ 1)^(1/3)
とはならないような・・・

別の解を、

9x^2-27x+159＞0
を証明すればいいのだから、
この二次不等式を解いて、
(-9-√717)/6＜x＜(-9+√717)/6
つまり、
(26)^(1/3)＜(-9+√717)/6
を証明すればいいことになります。
つまり、
26＜{(-9+√717)/6}^3
の証明となり、これは二乗根だけなので通常の方法でできます。

お礼

回答ありがとうございます
２次不等式を解くことも考えましたが、
計算が少し面倒なので考えを捨ててしまいました。

回答No.5

naniwacchi

#1＠捨てる紙です。＾＾；

＞3=27^(1/3)と置き換えることは試していませんでした。
#2さんの回答においても、26^(1/3)＜ 27^(1/3)＝ 3が必要ということですね。

8＜ 26＜ 27より 2＜ 26^(1/3)＜ 3としても、
f(2)＜ 0、f(3)＞ 0となって f(26^(1/3))＞ 0は言い切れません。
（f(x)＝ -9x^2- 27x+ 159としています）

電卓をたたいてみると、f(26^(1/3))≒ 0.025と小さい数になるので、
絞り込む範囲もだいぶせまいものにしないといけません。
そのような範囲を見つけるのは至難の業ですね。

そういう意味でも #2さんはさすがというところですね。
最後の x < 237/80についてですが、
237/80
＝ (240- 3)/80
＝ 3* (1- 1/80)

と変形してしまえば、たいそうな計算もなく示すことができそうです。

回答No.4

mister_moonlight

あっ、とんでもないケアレスミス。＃3は無視しといて。

回答No.3

mister_moonlight

(212)^(1/3)＝b、(26)^(1/3)＝a とすると、212＝b＾3　26＝a＾3 より　b＞a＞0。
b＾3-a＾3 ＝190　b＞a＞0　から、b-a＞5
従って、b＞a＋5　→　b＞a＋3

お礼

回答ありがとうございます
あっさりと終わったので、一瞬なにが起きたのか、驚きました。
b-a＞5はどうしてかよくわかりませんでした。

回答No.2

Tacosan

#1 に対抗していばらの道モード:
x = 26^(1/3) < 3 とおくと
-9x^2-27x+159 > 0 iff (-9x^2-27x+159)(x-3) < 0.
右の式の左辺を展開すると
-9x^3+240x-477 = -711 + 240x
になる. つまり x < 237/80 を示せばいいわけだ. で, これ自体は両辺を 3乗すればいい.

お礼

回答ありがとうございます。
この方針は役に立たず捨てなければならないかと
思っていましたが、捨てる神あれば拾う神ありで、
復活させてもらい、感謝です。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

質問で書かれている方法では、
x＝ 26^(1/3)がどのような範囲の中にあるのかが言えないとだめですね。

少し数字をこねくり回していたら、次のような方法が出てきました。

・まず、212を素因数分解してみると、次のようになります。
212＝ 2^2* 53＝ 2^2* (52+ 1)＝ 2^2* (26*2+ 1)

・今度は、右辺に注目してみると
3+ 26^(1/3)＝ 27^(1/3)+ 26^(1/3)

・どうも、「26」という数字がうろちょろしているので、左辺・右辺でくくってみます。
(左辺)＝ 26^(1/3)* { 4* (2+ 1/26) }^(1/3)
(右辺)＝ 26^(1/3)* (27/26+ 1)^(1/3)＝ 26^(1/3)* (2+ 1/26)^(1/3)

ここまでくれば、非常に単純な比較で大小関係を決定できます。

お礼

回答ありがとうございます
確かに26^(1/3)の大きさが、分からないと先に進まない方法は
堂々めぐりにおちいってしまうと反省しています。それを解消するために具体的にどんな
解法が考えられるか、というと思いつきませんでした。
3=27^(1/3)と置き換えることは試していませんでした。