助けて。。連立方程式が解けないww

質問

連立方程式で自明の解（ゼロ）しか出せずに困ってます！

x + 2y = ( 2+√5 )x
2x + 3y = (1-√5)y

という連立なのですが、右辺を左辺に移項して、右辺＝０にしてから、
やってみたりしたのですが、x,y=0という結果しか出せません。

ちなみに答えは、ｘ＝1-√5、ｙ＝-2のようで、確かに代入してみるとそのとおりになります。。

実は行列の固有ベクトル出す段階でこれにつまづいたのですが、まさかこの年で連立方程式で困るとは思ってもみませんでしたので、若干ショックを受けてます。。

どーやって出してるんでしょうか？？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

＞ちなみに答えは、ｘ＝1-√5、ｙ＝-2のようで、確かに代入してみるとそのとおりになります。。

第 2式に代入しても、成立しないようです。
「2x+ 3y＝(2+√5)y」ではないでしょうか？

この連立方程式は「定数項」がありません。
つまりは、「xと yの比」に関する式が 2つあるだけです。
第 1式と第 2式が異なる比を表しているならば、x= y= 0しか解はありません。
（原点を通る 2直線の交点は、原点のみ）

「ｘ＝1-√5、ｙ＝-2」というのも単に「比」であるというだけです。
「ｘ＝2、ｙ＝1+√5」でも成立します。
そして、この比は固有ベクトルの成分（直線の方向ベクトル）を表しています。

補足

あ、申し訳ございません。
おっしゃるとおり、第二式の右辺は、2x+ 3y＝(2+√5)yです！

>「ｘ＝1-√5、ｙ＝-2」というのも単に「比」であるというだけです

ここでハッとしました。教科書は固有ベクトルの略解のみでしたので、勝手に、そこの成分から「ｘ＝1-√5、ｙ＝-2」と思い込んでました。
冷静にあとから略解の行間を考えていたら、y=(1+√5)x/2と変形して、ｘをなにか定数（ｃとか）として固定すれば、x=c、y=(1+√5)c/2となり、固有ベクトルの成分として単純に２倍しただけなんだと気づきました。。

まあつまり単なる比でしたねｗｗ大人になるまで積み上げてきた私の理数知識の根底である中学数学に欠陥を見つけてしまったと思い勝手に焦ってましたww
いやーよかったwww

回答No.3

noname#250262

2x + 3y = (1-√5)y
に、ｘ＝1-√5、ｙ＝-2
を代入しても、等号成立が、いえないようですが。

あと、y = の形であらわすと、y = ○x、とy = －●x になったので、交点は、原点のみですね。
「y = 」が同じ式になれば、また別ですが。

お礼

すみません、下のかたへのお礼でも書きましたが、私の質問のなかの式に間違いがございました。

ついでに解決しました！すばやい回答、感謝します！

回答No.1

Tacosan

確認してみたけど, その x, y だと下の式が等しくならないはず.
もうちょっというと, 上の式は
2y = (1+√5)x
で x と y の符号が等しい. 一方下の式は
2x = (-1-√5)y
だから x と y の符号が異なる. だから自明な解しか出ないはず.

お礼

すみません、上のかたへのお礼でも書きましたが、私の質問のなかの式に間違いがございました。

ついでに解決しました！すばやい回答、感謝します！