なぜ０を代入してはいけないのでしょうか？

質問

家庭教師をしていて、数学の問題をやっていたときに、教えていた子に
「どうして０を代入してやってはいけないのか？」と聞かれました。
(X+Y)^3＋(X-Y)^3=2X^3+6XY^2 が成り立つことを証明せよ
という問題だったのですが、本来なら右辺か左辺を変形して、
左辺＝右辺の形にする、という答えなんです。
確かにXかＹに０を代入すればイコールが成り立つ式ではあるのですが、
どうして０を代入して右辺＝左辺の形にしてはいけないのかと聞かれると
なんと答えていいか分かりません。
私のこの質問もわかりにくいかと思いますが、お分かりになる方、どうぞよろしくお願いします。

回答No.7

noname#6715

自分なら・・・・・

『この問題の「意味」は
「XとYがそれぞれどのような数をとっても
　成り立つことを証明しなければならない」
ということなんだ。証明しなければいけないことを
勘違いしていないか？』

(多分そこを十二分に教えれば
　何かがおかしいことには気づくかと)
(GiveUpしたようであれば)

『まず、X = 0と代入した場合、両辺が0になるから
「X=0の時は」正しい。わかるね？（ここで確認）』

『だけどこれを示しただけじゃ
　これはX=3の時に成り立つかどうかは
　実際に代入してみないとわからないよね？』

『だからそれを証明するために
文字で計算するべきなんだ。(以下、解答に移る)』

・・・・一応シミュレートしてみたけど
現実にはうまくいかないんだよなぁ(汗)

回答No.6

Rossana

単純明快にこう答えましょう。
「０を代入してイコールなら，それは"０に対してだけは"確実に正しいことが証明されたことになるね。でも，それだけでは他の０じゃない数字に対して"絶対"正しいとは確実に言えないよね。」

回答No.5

keyguy

簡単な式
ｘ＋ｙ＝ｘ－ｙ
が正しいかどうかを考えれば分かるでしょう。

もしｙ＝０で両辺が等しいとするならば
ｙ＝０でたしかに
ｘ＋ｙ＝ｘ－ｙ
ですから
ｘ＋ｙ＝ｘ－ｙ
はただしいのです。
しかしｙ≠０では
ｘ＋ｙ＝ｘ－ｙ
は成立しません。

回答No.4

fushigichan

figaroさん、こんにちは。

＞「どうして０を代入してやってはいけないのか？」と聞かれました。
(X+Y)^3＋(X-Y)^3=2X^3+6XY^2 が成り立つことを証明せよ
という問題だったのですが、本来なら右辺か左辺を変形して、
左辺＝右辺の形にする、という答えなんです。
確かにXかＹに０を代入すればイコールが成り立つ式ではあるのですが、
どうして０を代入して右辺＝左辺の形にしてはいけないのかと聞かれると
なんと答えていいか分かりません。

確かにx=y=0を代入すれば、0=0となりますが
ここで求めたいのは、
x=0,y=0のときに与えられた式がどうなっているか、
ということではなく
「どんなx,yについても次の関係が成り立つことを示せ」
ということですから、ある特定の数字にだけ着目してもダメなんですよね。

(X+Y)^3＋(X-Y)^3=2X^3+6XY^2 が成り立つことを証明せよ

という問題は、すべての実数xとyについて、
上の関係が成り立っていることを示しなさいということなので
x=y=0だけ、という特別な場合だけじゃないんだよ、
もっとずうっと普遍的に成り立っていることを言わないといけないから
変形していって右の形になることから言わないといけない、
という風に言ってみてはどうでしょう。

回答No.3

i536

等号で結合された式には、恒等式、方程式、定義式の3種あります。

恒等式は、例えば(a+b)^2=a^2+2ab+b^2でどんな組み合わせのa,bに関して両辺が等しいことを主張します。
方程式は、例えば2x+4=xでxに特定のものしか許さないことを主張しています。
最後の定義式は、例えば、X=a+bでxをa+bと仮に決めておくということです。

いずれも、等号=で左辺と右辺が結ばれていますが、意味は全く異なり、また証明方法も異なってきます。
今回、恒等式を方程式と勘違いしたことになると思います。

回答No.2

mmky

参考程度に
回答は＃１のnotnotさんの通りです。
その他の回答例は、
「どうして０を代入して右辺＝左辺の形にしてはいけないのかと聞かれると 」
回答：なんと頭がいいこと、X=０でできるのなら１の場合は、2.0 の場合はどうなのと聞いてみるといいでしょう。頭の良い子なら１００個ぐらいは暗算でできるかも知れませんね。でも１０００個はむりでしょうね。頭の悪い子は手抜きをするのです。その手抜きの方法こそが記号形式の証明方法なんですね。それですべての数の組み合わせの証明ができるのです。ちょっと逆説的ですが。
参考になるかどうか？

回答No.1

notnot

＞(X+Y)^3＋(X-Y)^3=2X^3+6XY^2 が成り立つことを証明せよ

というのは正確に言うと、
「X,Yがどんな値を取ろうとも、(X+Y)^3＋(X-Y)^3=2X^3+6XY^2 が成り立つことを証明せよ」
ということなんで、ある特定のXの値について成り立つことを言ってもなんの足しにもなりません。