不定積分と対数関数

質問

x>0に対して、F（x）=∫【1→x】dt/t とする。
F（xy）=F（x）+F（y）…（*）
を示せ。
といわれたら、（*）の右辺、左辺を計算して、
（左辺）=log（xy）=logx+logy=（右辺）となるから証明終わりという形でよろし
いでしょうか？

回答No.3

proto · ベストアンサー

＃２の方のおっしゃるように、log(x)の定義を、定積分を用いて
　　log(x) = ∫[1→x]{1/t}dt
としたとき、定積分の性質を使って、
　　log(x*y) = log(x) + log(y)
となることを証明しなさい、というのが出題者の意図のようですね。
今回は敢えて、logという名前は出さずにF(x)として証明させていますが、証明させたいことの本質は上記の式ですから、ここで対数関数の性質を既知のものとして使うわけにはいきません。

まぁ、今回の証明は簡単なもんで
　　F(x*y) = ∫[1→x*y]{1/t}dt = ∫[1→x]{1/t}dt + ∫[x→x*y]{1/t}dt
と積分区間を分けてから
　　∫[x→x*y]{1/t}dt = ∫[1→y]{1/t}dt
を示せば終わりですよ。
積分区間が狙ったとおり収まるようにちょっと変数変換すればいいだけです。

回答No.2

Tacosan

ついでにいうと log x の定義によるような気がします.
つまり, F(x) の右辺の積分で log x を定義した場合,
log (xy) = log x + log y
という関係式は自明ではなくなります.
もっと極端には
log (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... (|x| < 1)
を解析接続して定義することも可能で, その場合には上の関係式はおろか積分との関係すら自明ではありません.

回答No.1

Knotopolog

＞・・・となるから証明終わりという形でよろしいでしょうか？

ダメです．少なくとも，F(xy)とlog(xy)の関係，F(x)とlog(x)の関係，
F(y)とlog(y)の関係を明記する必要があります．

お礼

どうもありがとうございました。