極値

質問

極値の質問です。
極値を持つ条件はF'（x）＝0の時すなわち異なる二つの実数解を持つ時となってますがそれだけでは極大値か極小値のどちらか一つしか持っていないので、異なる実数解を3つ持たないと極値を持つということにはならなくないですか？

回答No.5

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の回答

>異なる二つの実数解ってx軸と交わるってことですよね？
勘違いしてませんか?
異なる実数解とは 2次方程式F ' (x)=0 の解のことです.
F(x)は３次ですから　F'(x)は２次です。
F ' (x)=0が２実解を持つ時は y=F'(x)はx軸と２箇所で交わります。

ANo.1をよく読んでいただけば、書いてありますが
>極値を持つ条件はF'（x）＝0の時すなわち
「F'(x)=0が 」
>異なる二つの実数解を持つ時となってます
F(x)=0の実数解について言及していると勘違いしてませんか？

F'(x)=0のことなる２実数解のところでは
y=F(x)のグラフの傾きは0になるので、F(x)が３次の場合、極大か極小となります。
つまり
異なる実数解の１つが極大値のところ、他の１つが極小値のところとなります。

おわかり？

お礼

わかりました！
わかりやすい回答ありがとうございました！

回答No.4

178-tall

< No.1 の錯誤訂正。

その x が変曲点なら F(x) は実零点をもつかもしれませんけど、
極値点なら F(x) の実零点の存否は不確定だと思われます。

… かな？

回答No.3

jcpmutura

F(x)を
xの(3+2k)次多項式(kは非負整数)
とする
F(x)の導関数
F'(x)=0の実数解の個数を2で
その異なる2つの実数解a<b
はともに重解でないとすると
F'(x)=g(x)(x-a)(x-b)
g(x)=0は実数解を持たない
となるxの2k次多項式g(x)がある
g(x)>0のとき
x<aのときF'(x)>0だからF(x)は増加
a<x<bのときF'(x)<0だからF(x)は減少
x>bのときF'(x)>0だからF(x)は増加
だから
F(a)はF(x)の極大値
F(b)はF(x)の極小値となる

g(x)<0のとき
x<aのときF'(x)<0だからF(x)は減少
a<x<bのときF'(x)>0だからF(x)は増加
x>bのときF'(x)<0だからF(x)は減少
だから
F(a)はF(x)の極小値
F(b)はF(x)の極大値となる

例)
F(x)=x^3-3x^2
とすると
F'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0
は異なる2つの実数解0,2を持つ
x<0のときF'(x)>0だからF(x)は増加
0<x<2のときF'(x)<0だからF(x)は減少
x>2のときF'(x)>0だからF(x)は増加
となるから
F(0)=0はF(x)=x^3-3x^2の極大値
F(2)=-4はF(x)=x^3-3x^2の極小値となる

回答No.2

178-tall

F'(x) = 0 のとき、その x は F(x) の極大点か極小点か変曲点 … らしい。

その x が変曲点なら F(x) は実零点をもつのでしょうけど、
極値点なら F(x) の実零点の存否は不確定だと思われます。

回答No.1

info222_

F(x)について質問文の説明が不十分です。

F(x)は３次関数？
であれば

>極値を持つ条件はF'（x）＝0の時すなわち
F'(x)=0が
>異なる二つの実数解を持つ時となってます
は正しいです。
なので
>がそれだけでは極大値か極小値のどちらか一つしか持っていない
これはまちがい。

>ので、異なる実数解を3つ持たないと極値を持つということにはならなくないですか？
これはまちがい。F(x)が３次関数ならF'(x)は２時間数ゆえ、F'(x)=0は実数解を３つ持つことはありえません。

補足

不十分でした。すいません。
3次関数の場合です。
異なる二つの実数解ってx軸と交わるってことですよね？
もし異なる実数解が二つならばf'（x）＝0のところは1箇所なので極大値か極小値のどちらか一つではないかと思ったんですが…。