極値をもたないための条件。

質問

極値をもたないための条件。これは1つの実数解もつかもたないか。ですよね？
でも1つの実数解をもってしまうと、極大か極小どちらか1つをもってしまう可能性がありますよね？？

これって極値をもってしまってることにならないんでしょうか。。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>三次関数です！

その多項式を、
　y = x^3 + ax^2 + bx + c　　…(*)
としましょうか。

「極値をもたない」というのは、(*) のグラフを描いたとき、アップ→ダウン→アップの個所が無い、ということ。
つまり、(*) の導関数
　y' = 3x^2 + 2ax + b　　　　…(**)
が実根をもたないこと。

>…1つの実数解をもってしまうと、極大か極小どちらか1つをもってしまう可能性がありますよね？

「(**) のほうに着目」してる、ということかな。
「1 つの実数解をもって」いるなら、「極大か極小どちらか 1 つ」が現れそうだ、ということ？

「1 つの実数解をもってしまう」と、もう一つも実数。
ただし、「重根」という例外があり得ます。「重根」ペアなら、アップ→ダウン→アップの個所はありません。
「異根」ペアなら、「極大か極小どちらか 1 つ」とはいかず、双方とも現れます。

回答No.3

mister_moonlight

3次関数が、極値を持たない場合は2つある。
(1)　単調増加の時　(2)　単調減少の時

いずれにしても、f´（x）を考える事になるが、“実数解もつか　もたないか”ではない。
判別式≦0という点では一致するが、条件はそれだけではない。

回答No.2

ereserve67

おそらく三次関数

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0）

が極値をもたないための条件でしょう．

f'(x)=3ax^2+2bx+c

の符号が変化しなければよい．そのためには

（☆）常にf'(x)≧0または常にf'(x)≦0

です．だから2次方程式f'(x)=0について

>1つの実数解もつかもたないか。ですよね？

その通りです．

>でも1つの実数解をもってしまうと、極大か極小どちらか1つをもってしまう可能性がありますよね

いいえ．それはありません．条件（☆）には等号も含んでいるからです．

多分質問者様は

「f'(a)=0⇒f(a)は極値である」

とお考えなのではないですか．これの有名な反例は

f(x)=x^3

です．f'(x)=3x^2=0は一つの解x=0をもちますが，常にf'(x)≧0（等号成立はx=0の時に限る）なので常に増加し極値をもちません．

回答No.1

asuncion

＞極値をもたないための条件。

「何が」極値をもたないための条件について論じてらっしゃるのでしょうか。
主語を明確にする必要があるのではないかと思います。

補足

三次関数です！すいません。。