3次関数

質問

極値をもつ⇒ｆ’（ｘ）＝０だけど、必ずしもｆ’（ｘ）＝０⇒極値をもつではないですよね？

でも、たとえばy=x^3-|x|+1のグラフを書いた時、ｘ＝０で極大値１、ｘ＝1で極小値-1

と、極大値のとき、ｆ’（ｘ）＝０にはなっていません。

どうしてですか？　また、このときのｆ’（ｘ）はなんですか？

誰か教えてください。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#4です。

A#4の補足質問について

>なるほど！f'(x)が存在するときに>極値をもつ⇒ｆ'(x)＝０が成り立つんですね！
極値の近傍でf'(x)が連続であり、f'(x)が存在する（定義されている）ときに
極値を持つ⇒ｆ'(x)＝０が成り立つ
と言うことです。

>ところで若干引っかかったんですけど、左方微係数、右方微係数ってなんですか・・・？一致しないとなぜだめなんですか？

あるxにおける微係数（微分係数）が存在するとは、そのxにおけるf'(x)が一意的に定まるということです。

つまり
(A)xがx=x0に小さい方から近づく時(x→x0-と書く）のf'(x)(左方微係数、左微分係数、左側微分係数などと呼ぶ)
と
(B)xがx=x0に大きい方から近づく時(x→x0+と書く）のf'(x)(右方微係数、右微分係数、右側微分係数などと呼ぶ)
とは一致する場合を言います。

しかし、y=f(x)=|x-2|
のような関数のx=2における微分係数(グラフの傾き)を考えると
x<2では　y=f(x)=2-xなのでx→2-では左方微分係数f'(2-)=-1
x>2では　y=f(x)=x-2なのでx→2+では右方微分係数f'(2+)=1
となって　f'(2)は-1なのか、1なのか、確定できません。
これをf'(x)はx=2で定義できない。とか、x=2で定義されていない（未定義）と言います。
x=2でf'(x)未定義でも
x<2の範囲のxが2に極めて近い所まではf'(x)が存在するので、これを左方微分係数（左側微分係数、左微分係数などとも呼ぶ）としてf'(2-)としては定義できグラフの左側の傾きとして利用したり、関数の増減に利用でき極値の判定には利用できます。

同様に、右方微分係数（右側微分係数、右微分係数などとも呼ぶ）f'(2+)も定義でき、
右方微分係数と併せて、f'(x)が未定義の時の極値の判定に使われます。

より詳しくは参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a04/32.pdf

回答No.7

info22_

#4,#5です。

y=f(x)=x^3 -3|x| +1

x<0 の時
　y=f(x)=x^3 +3x +1
　y'=f'(x)=3x^2+3>0
　f'(-0)=3
x<0(x=0の下側)近傍ではf(x)は単調増加
x>0の時
　y=f(x)=x^3 -3x +1
　y'=f'(x)=3x^2 -3<0(0<x<1)
　f'(+0)=-3
　x>0(x=0の上側）近傍ではf(x)は単調減少
x=0でy=f(0)=1でf(x)はx=0付近で連続であるが、y'=f'(0)は存在しない。
しかしx=0の近傍で関数f(x)が単調増加し、単調減少し、かつf(x)が連続であることから
x=0でy=f(x)は極大となると言えます。極大値f(0)=1

ここで、f'(0)は未定義ですから「f'(0)=0は極大の判定」には使えません。

回答No.6

noname#175206

補足、承りました。#3,2です。

>この極大値のときｆ’（0）＝０、となっていますか？

　x＝0で、f(x)＝y=x^3-3|x|+1のf'(x)が0になりません。
　もう少し正確に言えば、そこは「不連続」であって、微分ができない点になっています。
　これは、式の項|x|をグラフにすれうば、x＝0で90度に折れ曲がっているためです。このように滑らかに変化しない点（与えらえれた式ではx＝0のところ）は、微分してみようとしても、求められる値がありません。
　|x|だけを微分で見てみると、x＜0で-1、x＞0で+1、しかしx＝0では微分不可能になります。

　y＝f(x)を微分したy'＝f'(x)値は、直交するx軸y軸で表した曲線f(x)の接線の傾きになります。
　接線は滑らかに変化するときは一つに定義できますが、折れ曲がる点では一つに定義できません。

　一つに定義できない時は、定義できないとして「不能」、またはいろいろあり得るが一つに決められないとして「不定」とするのが普通です。いずれにしても、特定の値はありません。

　しかし、関数f(x)自体はx＝0でも、一つに定まる値を持っています。その前後で増減もあり、それが変化します。

　微分では求められないけれど、関数の増減が変化することもある。つまり微分は関数の増減を調べるのに、必ずしも万能ではないということですね。

回答No.4

info22_

>極値をもつ⇒ｆ'(x)＝０だけど
これは f'(x)が未定義のxに対しては正しくありません。
例の関数のx=0ではf'(0)は存在しません。
左方微係数f'(-0)=1,右方微係数f'(+0)=-1で一致しないので
x=0ではf(x)が存在せず未定義となります。
このようにf'(x)が未定義となるxでは、極値（極大値や極小値）は取り得ますが
極値を与えるx=x0でf'(x0)が存在する場合ばf'(x0)=0がいえますが、f'(x0)が存在しない場合でも極値を取る場合があります。
極大値、極小値の定義を確認してみてください。
x=x0の近傍でf(x0)が一番大きな値をとるときf(x0)を極大値と定義されますので、
x=x0でy=f(x)のグラフが折線状に折れ曲がって山または谷を作っている時には極値が存在しますがf'(x0)は存在せず、f'(x0)=0は成り立ちません。

>また、このときのｆ'(ｘ）はなんですか？
右方微係数（右側微分係数）と左方微係数（左側微分係数）が一致せず
f'(x)が未定義（存在しない）の所になります。しかし極大値は存在しています。
極大値の定義を満たしていますので問題ありません。
定義をしっかり確認しておきましょう。

お礼

参考URLをよんでからinfo_22さんの回答を読んだら理解できました。

学校でこんなの教えてくれなかった・・・。

補足

なるほど！f'(x)が存在するときに>極値をもつ⇒ｆ'(x)＝０が成り立つんですね！

ところで若干引っかかったんですけど、左方微係数、右方微係数ってなんですか・・・？一致しないとなぜだめなんですか？

回答No.3

noname#175206

>まちがえました！　y=x^3-3|x|+1です！

　えー、せっかく一生懸命書いたのにい。orz
　うーむ、気を取り直して。

-----------------------------------------
　絶対値の項を持つ数式の場合は、0を境にマイナスとプラスに分けるといいでしょう。

　y = x^3 -3|x| + 1は、

　y =x^3 + 3x + 1　x≦0　――(1)
　y =x^3 - 3x + 1　x≧0　――(2)

とすることができます。

　普通はx＝0をどちらかだけに含めて、他方に含まないようにするんですけど、x＝0でどうかがポイントになりそうなので、あえて両方に含めてあります。

　二つの場合に分けた式をxで微分してみます。

　y'= 3x^2 + 3　x≦0　――(1)'
　y'= 3x^2 - 3　x≧0　――(2)'

　きちんと論証するには、もう一度微分して、増減を確かめるところですが、ちょっと手を抜いて、この(1)'(2)'だけで考えてみます。
　2乗は必ず正なので、3x^2＞0ですから、x≧0のときだけy'＝0にすることができ、それはx＝1のときですね（x≧0のときを考えているから、x＝ -1はない）。

　しかし、元の(2)はx＝1の前後で単調増加です。
　これは、y =x(x^2 - 3) + 1≒-2x + 1と書きかえれば、分かりやすいかもしれません。

　しかし、絶対値記号（|x|）を外すために二つに分けた場合は、分けたところの前後も調べる必要があります。式の形が変わっていますから。

　x＝0を境に二つに分けたのですから、そこ、つまりx＝0の前後で(1)(2)を調べると、確かに増減が変わり、極値であることが分かります。

　これは、|x|がx＝0の前後で正負の反転した直線、つまりグラフに描けばＶ字形になっているからです。

　このことは、Ｙ＝|x|として考えると、はっきりしますね。この|x|の項のx＝0での反転する効果で、極値ができているわけです。

　念のため微分すれば、x＝0を境にY'＝±1です。y'では隠れている感じですが、このY'がポイントであったわけです。
-----------------------------------------

　ありゃ、意外と書き直しは少なかったです。

お礼

回答ありがとうございます。

長い文章本当にありがとうございました！！

補足

この極大値のときｆ’（0）＝０、となっていますか？

回答No.2

noname#175206

絶対値の項を持つ数式の場合は、0を境にマイナスとプラスに分けるといいでしょう。

　y = x^3 -|x| + 1は、

　y =x^3 + x + 1　x≦0　――(1)
　y =x^3 - x + 1　x≧0　――(2)

とすることができます。

　普通はx＝0をどちらかだけに含めて、他方に含まないようにするんですけど、x＝0でどうかがポイントになりそうなので、あえて両方に含めてあります。

　二つの場合に分けた式をxで微分してみます。

　y'= 3x^2 + 1　x≦0　――(1)'
　y'= 3x^2 - 1　x≧0　――(2)'

　きちんと論証するには、もう一度微分して、増減を確かめるところですが、ちょっと手を抜いて、この(1)'(2)'だけで考えてみます。
　2乗は必ず正なので、3x^2＞0ですから、x≧0のときだけy'＝0にすることができ、それはx＝1/√3のときですね（x≧0のときを考えているから、x＝ -1/√3はない）。

　しかし、元の(2)はx＝1/√3の前後で単調増加です。
　これは、y =x(x^2 - 1) + 1≒-(2/3)x + 1と書きかえれば、分かりやすいかもしれません。

　しかし、絶対値記号（|x|）を外すために二つに分けた場合は、分けたところの前後も調べる必要があります。式の形が変わっていますから。

　x＝0を境に二つに分けたのですから、そこ、つまりx＝0の前後で(1)(2)を調べると、確かに増減が変わり、極値であることが分かります。

　これは、|x|がx＝0の前後で正負の反転した直線、つまりグラフに描けばＶ字形になっているからです。

　このことは、Ｙ＝|x|として考えると、はっきりしますね。この|x|の項のx＝0での反転する効果で、極値ができているわけです。

　念のため微分すれば、x＝0を境にY'＝±1です。y'では隠れている感じですが、このY'がポイントであったわけです。

回答No.1

dreamfighter

たとえばy=x^3-|x|+1のグラフを書いた時、ｘ＝０で極大値１、ｘ＝1で極小値-1

これどうやって出したの？？間違ってるよ。

絶対値は外してからじゃないと微分できないよ。

というかf(1)≠-1じゃん。

補足

まちがえました！　y=x^3-3|x|+1です！