極値をもつ条件

質問

高等数学IIIについての質問です。

　関数 f(x)=x+1/x^2+2x+a について、f(x)が極値を持つようなaの値の範囲を求めよ。

　この問題について、まず f'(x)=0 となるようなxの値が存在するようにaの値の範囲を定めます。
　ちなみに f'(x)=-(x^2+2x-a+2)/(x^2+2x+a)^2 です。
　ここで、まず私は f'(x)=0 の両辺に -(x^2+2x+a)^2 を掛けて分母を払い（ついでに分子のマイナスも消去）、その後 x^2+2x-a+2=0 が実数解を持つような、つまり判別式Dについて D≧0 となるようなaの値の範囲（この場合a≧1となります）を求めましたが、実際は D=0 は含まれず、D＞0となるようなaの値（a＞1となります）を求めなければいけなかったようです。
　確かに D=0 、つまり a=1 の時 f(x)=1/x+1 となってしまい極値は持ちませんが、問題の解説では後でD≠0であることの確認をしているわけではなく、いきなりD＞0としているので、何か別の判断理由がありそうなのです。その理由はなんなのでしょうか。教えていただけたら幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

take_5

＞その理由はなんなのでしょうか。

一般に、Ｄ＝0ならば、常に　f´（x）≧0、or、　f´（x）≦0となり単調増加、or、単調減少となりf（x）は極値を持つ事がない。
従って、初めからＤ＝0 の場合は対象外。

解説には、f（x）が極値を持つためにはf´（x）＝0　が異なる実数解を持つ事が条件である、と書いてないの？
それが書いてなければ減点の対象です。君が見落としているか、参考書の不手際か、どちらかだろう？

お礼

＞一般に、Ｄ＝0ならば、常に　f´（x）≧0、or、　f´（x）≦0となり単調増加、or、単調減少となりf（x）は極値を持つ事がない。
　そうなのですか。三次関数の極値に関してはそうだったと習った記憶がありますが、三次関数でなくても成り立つのですね。

　条件については、少なくともこの問題の解説の部分には書いてありませんでした。

　お答えいだたきまして、ありがとうございました。

回答No.1

info22

D=0の時は
x^2+2x-a+2=(x+1)^2の時ですから -a+2=1,a=1となって
f'(x)の分母=(x^2+2x+1)^2=(x+1)^4で、f'(x)の分子と分母が約分できて
f'(x)=-1/(x+1)^2となってf'(x)=0となる実数xが存在しなくなるからでしょう。
>まず f'(x)=0 となるようなxの値が存在するようにaの値の範囲を定めます。
と矛盾する。

なので
D>0としたのでしょう。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。