図形と計量

質問

度々訂正を被ったことを深くお詫び申し上げます。
[質問]
△ABCにおいて、AB=4,AC=3,∠BAC=60°とする。また、三角形ABCの外接円をKとする。このとき、
BC=√13であり、△ABCの面積をS,外接円Kの半径をRとすると、
S=3√3,
R=√39/3である。

(1)点Bにおける円Kの接線と点Cにおける円Kの接線を交点をDとし、直線ADと辺BCの交点をEとする。また、接線BD上に点Bに対して点Dと反対側に点Fをとる。
(図参照)
(i)円Kの中心をOとすると、∠BOC=120°だから∠BDC=60°となり、BD=CD=√13である。
(ii)∠ABF=∠BCAだから,
sin∠ABD=6/√39となる。
したがって△ABDの面積とT1とすると、
T1=4√3
となる。
同様にして,△ACDの面積をT2とすると,
T2=9√3/4となる。
以上より,
BE:EC=16:9を得る。
とありますが、∠ABDと△ACDの面積が求めれなくて困ってます。
接弦定理を使うのはわかってますが、答えが出ませんでした。
解説お願いします。

回答No.4

longsu

＃３です。
その後いろいろ考えてみたのですが、まあ正弦余弦定理を知らなくても解けるのか、と思い直し再び筆をとった（＝キーボードに向かった？）しだいです。

まず＃２も言っているように、BD=DC（=BC=√13）を確認というか、証明しましょう。円の外の点から円に向かって接線を引いたとき（内側の点からは引けないけど）、接線は2本引けますが、それの長さが等しい（厳密には、円外の点から接点までの距離が等しい）というのは、自明ですが、これを自明として処理できるか、それともきちんと証明をつけないといけないのか、この辺は私は現役ではないのでよくわかりません。履修レベルによっても変わってくるかもしれません。
欲しい結論は
BD=√13
です。
次に△ABDにおいて底辺をBDとすると高さはどれ？　ということです。文中にsinが出てきているので、sinが何ぞやということはお分かりいただいているという前提で話を進めますが、高さに相当するのは、ABsin∠ABDかADsin∠ADBです。わかっている方を使えばいいのですが、話の流れからすると、ABsin∠ABDを使えといっているようですね。
sin∠ABDとsin∠ABFが等しいことは、どうなのかな。式的には
sin(π－θ)=sin(θ)なんですけど、このことお分かりいただけているのでしょうか。
△ABDについては底辺も高さもわかったので面積は計算できますね。
△ACDは辺CDを底辺として・・と思ったのですが、まともにやると、加法定理の理解が必要になります。むしろ△ABC+△BDC=△ABD+△ADCから算出する方が楽かもしれません。
以上私の早とちりの弁明も含めて回答とします。

回答No.3

longsu

＞△ABCにおいて、AB=4,AC=3,∠BAC=60°とする。また、三角形ABCの外接円をKとする。このとき、
BC=√13であり、△ABCの面積をS,外接円Kの半径をRとすると、
S=3√3,
R=√39/3である。

まず、△ABCにおいて、AB=4,AC=3,∠BAC=60°とする。の段階で、△ABCが確定していることはわかりますか？　二辺と狭角が与えられているのですから三角形は確定します。つまり「この時」以下の文章は必要ありません。あえてこのような文言を使っているということは、少なくとも、正弦定理、余弦定理くらいはわかっとるんじゃろうな、という引っかけと思います。

BC=√13
S=3√3,
R=√39/3

がトレースできるのであれば、それ以下の問題はさしたる知識を必要としません。まあ強いて言えば、三平方の定理と、三角関数の加法定理を知っていれば結論にたどり着けるはずです。正弦定理についての理解を促したいと思います。

回答No.2

gohtraw

△ＤＢＣはＢＤ＝ＤＣ、かつ∠ＢＤＣが６０°なので正三角形です。よってＢＣ＝√１３。
ここで△ＡＢＣの面積を考えると
ＡＢ＊ＡＣ＊ｓｉｎ∠ＢＡＣ／２＝ＡＢ＊ＢＣ＊ｓｉｎ∠ＡＢＣ／２
数値を代入して
４＊３＊√３／２／２＝４＊√１３＊ｓｉｎ∠ＡＢＣ／２
接弦定理より∠ＡＢＣはＡＣとＤＣのなす角に等しいので△ＡＤＣの面積は
ＤＣ＊ＡＣ＊ｓｉｎ∠ＡＢＣ／２＝√１３＊３＊ｓｉｎ∠ＡＢＣ／２

回答No.1

simotani

角ABDの面積は出ません。(角度は出ます)
きちんと文章を推敲して書くよう心掛けて下さい