まったく歯が立ちません…

質問

四角形ABCDが
∠A=30゜ ∠B=165゜ ∠C=90゜
AB=√(3)-1 AD=2
を満たすとする

(1)BDの長さを求めよ
(2)∠ABDの長さを求めよ
(3)CDの長さを求めよ
(4)四角形ABCDの面積を求めよ

という問題なんですがよくわかりません。

解答＆解説お願いします

ちなみに答えは
(1)√2
(2)135゜
(3)√2/2
(4)3√(3)-2/4

です。
お願いしますm(__)m

回答No.3

nattocurry

まったく歯が立たないって・・・
それは、正弦定理や余弦定理を習っていない人が吐く台詞ですよ。

正弦定理も余弦定理も習ってるんですよね？
習ったけど理解していない、というのであれば、こんな問題をやる前に、正弦定理や余弦定理がどういうものなのか理解しましょう。

この問題は、(1)でBDを求めることになっていますが、そのBDに線を引いて、△ABDと△BCDに分けて考えると、正弦定理と余弦定理を使うだけで簡単に解けます。

(1)
三角形の、2辺の長さと、その2辺が挟む角の大きさが判っていて、残りの辺の長さを求める問題。
余弦定理を使う代表的な問題です。
余弦定理はどんな式で覚えていますか？
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) ですか？
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA ですか？
どの形で覚えていようが、既に判っているA=30°、b=AB=√3-1、c=DA=2、を代入して、a=BDを求めるだけです。
a^2=(√3-1)^2+2^2-2*(√3-1)*2*√3/2
a^2=3-2√3+1+4-6+2√3
a^2=2
a=√2 (∵a>0)
BD=√2

(2)
三角形の、ある角の大きさとその対辺の長さが判っている場合は、正弦定理を使います。
(1)でBDを求めたので、△ABDで、∠Aとその対辺BDが判っています。
△ABDにおいて、∠ABD＝∠Bとすると、
正弦定理により
BD/sinA=DA/sinB
√2/sin30°=2/sinB
sinB=2/√2*sin30°=2/√2*1/2=1/√2=√2/2
B=45°,135°
もし、B=90°なら、AB=DAcosAとなるはずですが、
DAcosA=2*cos30°=√3
AB=√3-1<√3=DAcosA
つまり、AB<DAcosAなので、∠Bは鈍角。
B=135°

3辺の長さが判っているので、余弦定理でも解けます。
余弦定理の場合は、鋭角か鈍角かを気にする必要はありません。
cosB={(√3-1)^2+(√2)^2-2^2}/{2*(√3-1)*√2}
=(4-2√3+2-4)/{2√2(√3-1)}
=-2(√3-1)/{2√2(√3-1)}
=-1/√2
=-√2/2
B=135°

(3)
∠DBC=∠ABC-∠ABD=165°-135°=30°
△BCDは、30°、60°、90°の直角三角形なので、いくつか解き方がありますが、あえて正弦定理で。
CD/sin30°=BD/sin90°
CD=BD/sin90°*sin30°
CD=√2/1*1/2=√2/2

(4)
三角形の、2辺の長さと、その2辺が挟む角の大きさが判っている場合は、三角形の面積は、2辺の長さをそれぞれbとc、その2辺が挟む角の大きさをAとして、
三角形の面積=bc*sinA/2
となります。

△ABD=2×(√3-1)×sin30°/2=(√3-1)×1/2=(√3-1)/2
△BCD=√2×√2/2×sin60°/2=1/2×√3/2=√3/4
□ABCD=△ABD+△BCD=(√3-1)/2+√3/4=(2√3-2+√3)/4=(3√3-2)/4

回答No.2

noname#134163

(1)△ABDに余弦定理を利用
BD^2=AB^2+AD^2-2×AB×AD×cos30°
=(√3-1)^2+2^2-2×(√3-1)×2×(√3/2)
=3-2√3+1+4-2×(√3-1)×√3
=8-2√3-6+2√3
=2
よってBD=√2

(2)正弦定理を利用
AD/sin∠ABD=BD/sin∠BAD
2/sin∠ABD=√2/sin30°
2/sin∠ABD=2√2
sin∠ABD=1/√2
鈍角なので∠ABD=135°

(3)∠DBC=165-135=30°より△BCDは30°60°90°の直角三角形
辺の比がBD:CD=2:1
√2:CD=2:1
2CD=√2
CD=√2/2

(4)△ABDの面積=(1/2)×AB×AD×sin30°
=(1/2)×(√3-1)×2×(1/2)
=(√3-1)/2
△BCDの面積=(1/2)×BD×CD×sin60°
=(1/2)×√2×(√2/2)×(√3/2)
=√3/4
四角形ABCDの面積=△ABD+△BCD=(√3-1)/2+√3/4=3√3/4-1/2=(3√3-2)/4

回答No.1

gohtraw

（１）△ＡＢＤに余弦定理を使います。
ＢＤ＾２＝ＡＢ＾２＋ＤＡ＾２－２＊ＡＢ＊ＤＡ＊ｃｏｓ∠ＤＡＢ
（２）∠ＡＢＤの大きさですか？△ＡＢＤに正弦定理を使えば∠ＡＢＤの正弦（ｓｉｎ）が出ます。
（３）（２）の結果から∠ＤＢＣの大きさが判るので、今度は△ＢＣＤに正弦定理を使います。
（４）△ＡＢＤとＢＣＤに分けて考えます。△ＡＢＤは二辺とその間の角が判っているので面積は判りますね。△ＢＣＤは二辺が判っているので三平方の定理から残る一辺（ＢＣ）も判ります。

はっきり言ってごく基礎的な問題だと思います。教科書などで定理の内容や三角形の面積の公式を調べながら考えてみて下さい。