円に内接する四角形の周の長さ

質問

受験用の数学の問題です。
（１）の問いはなんとか解答にこぎつけたのですが、（２）（３）がさっぱりです。
（２）の　　（ｘ＋ｙ）＾２-ｘｙ＝9　というのは、公式なんでしょうか？　教科書や参考書では捜せなかったんですが・・・
（３）で、ｘｙ＝２とありますが、「２」はどうやったら導き出されるのでしょうか？　そして、周の長さは単純に４辺を足した数でいいんでしょうか？

解説、ぜひお願いいたします。

問題：
図のように四角形ABCDが半径√3の円Oに内接している。
ここで
　AB＝√3+√2、AD＝√3-√2、∠BAD＜90°
とする。四角形ABCDの面積が3√3/4のとき、四角形ABCDの周の長さを考えよう。

（１）cos∠BAD＝ｔ　とおく。余弦定理を用いると
　　　　BD＾２＝10-2ｔ
　　が得られ、正弦定理を用いると
　　　　BD＾２＝12（1-ｔ＾２）
　　が得られる。これよりｔの値は　ｔ＝1/2　となるから、∠BAD＝60°である。

（２）次に、BC＝ｘ、CD＝ｙとする。BD＝3　、∠BCD＝120°より
　　　　（ｘ＋ｙ）＾２-ｘｙ＝9
　　となる。

（３）さらに、四角形ABCDの面積に着目すると、ｘｙ＝2　であるから、求める周の長さは
　　　　2√3+√11
　　である。

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

(2)は余弦定理からきています
△BCDにおいて
BD^2=BC^2＋CD^2-2×BC×CD×cos120°より
3^2=x^2+y^2-2xy×(-1/2)
9=x^2+y^2+xy
になりこれを変形すると
(x+y)^2-2xy+xy=9
(x+y)^2-xy=9
となります

(3)面積の公式
△ABD=(1/2)×AB×AD×sin60°=(1/2)×(√3+√2)×(√3-√2)×(√3/2)=√3/4
△BCD=(1/2)×BC×CD×sin120°=(1/2)×xy×(√3/2)=(√3/4)xy
これの合計が3√3/4より
(√3/4)+(√3/4)xy=3√3/4
(√3/4)xy=2√3/4
xy=2
になります

お礼

大変分かりやすい解説、ありがとうございました！助かりました！

回答No.1

springside

かなり計算を省略してありますが、こういうことでしょう。

(2) △BCDに余弦定理を用いると、
　　　x^2+y^2-2xycos120°=9
となり、これを整理すると、
　　　x^2+y^2+xy=9
なので、この式を変形して、
　　　(x+y)^2-xy=9
となる。

(3)四角形ABCDの面積=△ABD+△BCDなので、
　　　(1/2)(√3+√2)(√3-√2)sin60°+(1/2)xysin60°=3√3/4
となるから、これを計算すると、
　　　xy=2
となる。

あとは、四角形ABCDの周の長さは、単純に4辺を足せばよい。

お礼

計算が省略されてたんですね・・・　回答ありがとうございました！