x^n+(1/x^n)をθで表す問題です。

質問

x+(1/x)=2cosθの時、x^n+(1/x^n)をθで表す問題です。
n=1の時、x+(1/x)=2cosθ
n=2の時、x^2+(1/x^2)={x+(1/x)}^2-2=(2cosθ)^2-2=4(cosθ)^2-2
n=3の時、x^3+(1/x^3)={x+(1/x)}^3-3{x+(1/x)}=(2cosθ)^3-3*2cosθ=8(cosθ)^3-6cosθ
n=4の時、x^4+(1/x^4)={x+(1/x)}^4-4{x+(1/x)}^2+2=(2cosθ)^4-4(2cosθ)^2+2=16(cosθ)^4-16(cosθ)^2+2
と考えてみると、x^n+(1/x^n)の第１項は2^n*(cosθ)^nと表せそうですが、その他の項をnで表すことができないでおります。
どのように考えていけばよろしいのでしょうか？アドバイスの程宜しくお願い致します。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

単に、ド・モアブルの定理を使うだけ。
現在の高校では、ド・モアブルの定理は教えてないんだろうか？

x+(1/x)=2cosθを解くと、x＝cosθ±i*sinθ　iは虚数単位。
x＝cosθ＋i*sinθ　でやってみよう。　x＝cosθ-i*sinθ　でも同じ結果になる。

x^n＝(cosθ＋i*sinθ)^n＝cos*nθ＋i*sin*nθ、1/x^n＝1/(cosθ＋i*sinθ)^n＝(cos*nθ-i*sin*nθ)であるから、x^n+(1/x^n)＝(cos*nθ＋i*sin*nθ)＋(cos*nθ-i*sin*nθ)＝2cos*nθ。

補足

mister_moonlight様ありがとうございます。ド・モアブルの定理が利用できるのですね。
実はこの次の問題に『x+(1/x)=2cosθの時、x^n+(1/x)^n=2cosnθ を数学的帰納法で証明せよ』という問題が続いております。
ここで、n=1　の時、x+(1/x)=2cosθ
また、　n=k　の時、x^k+(1/x)^k=2coskθが成り立つとすると、
　　　　n=k+1の時、x^(k+1)+(1/x)^(k+1)={x^k+(1/x)^k}{x+(1/x)}-x^(k-1)+(1/x)^(k-1)
=2coskθ*2cosθ-x^(k-1)+(1/x)^(k-1)
とうまく展開できないでおります。
大変お手数おかけ致しますが、さらなるアドバイス宜しくお願い致します。

回答No.4

mister_moonlight

こんな問題に、わざわざ数学的帰納法を使うの？

そんじゃ、(x+(1/x)*(x＾k+(1/x)＾k)を作ってみたら？

お礼

mister_moonlight様アドバイスありがとうございました。何とか求めることができました。

回答No.2

kashimezai

a_n = x^n+1/x^n とおくと，a_1*a_n = a_{n+1} + a_{n-1}が成り立ちます．
これを上手く使えば解けるのではないでしょうか．
受験からはるか遠ざかっているのでその後の計算をする気力がありませんが．

お礼

kashimezai様アドバイスありがとうございました。何とか求めることができました。

回答No.1

endlessriver

x+(1/x)=2cosθを解いてもいいですがx=exp(iθ)とすると条件を満たします。すると

答えは　x^n+(1/x)^n=2cos(nθ)．