Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^(2

質問

Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1)) ただし-1<x<1
を求めよという問題なのですが
(x^2^n)/(1-x^(2n+1)
=(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
とぶんかいできるので
Σ{n=0~∞}　(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
と置き換えられる
1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
とも置き換えられるので
Σ{n=0~∞}　(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n))/2

1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n)はn=0~∞なので０　（ここが自信ないです）

Σ{n=0~∞}　(1/(1-x^2^(n-1))　は発散する　( 1/(1-x^2^(n-1)>1 なので）

間違えてるところがあったら指摘お願いします

回答No.2

noname#152705 · ベストアンサー

(x^2^n)/(1-x^(2n+1))の分解と同じで
1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。
あと、自信ないと書かれているように、番号だけずれているような和どうしの差がn→∞でゼロとは限らないです。
それぞれの和が収束しない場合は慎重な議論が必要です。
収束するとしても、相殺されないで残る項がないか見ないといけません。
まず極限をとらず有限和を計算してはどうですか。

お礼

＞1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。

そうですね　番号がずれている和同士の差が０になるのはお互い収束する場合でしょうか

ちょっとちがうかもしれませんが、整数と自然数の数が同じというのをしってからいまいち無限？の概念がわからないんですよね　

とりあえず有限和計算してみます

回答No.1

Tacosan

あ, そうか.

1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))