I_n = ∫[0,π/4] tan^n x dx

質問

I_n + I_(n+2)　を求めよ。

とありました。
とりあえず、
∫ (tan^n x)/(cos^2 x) dx
まで変形したのですがこのあとどのように導けば計算ができるのかわかりません。

解答は1/(n+1)となっていたのですが…

ご指導お願い申し上げます。

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

I[n]+I[n+2]
=∫[0,π/4]tanⁿxdx+∫[0,π/4]tanⁿ⁺²xdx
=∫[0,π/4]tanⁿx(1+tan²x)dx

tanx=tとおくと(1+tan²x)dx=dt
∫[0,π/4]tanⁿx(1+tan²x)dx
=∫[0,1]{tⁿ}dt
=1/(n+1)

お礼

お陰様でわかりました!!!!ありがとうございます★