Σ[n=1～∞]x/(1+x^2)^n

質問

Σ[n=1～∞]x/(1+x^2)^nが
x ≠ 0 のとき S = xr/(1-r) = 1/x
となるのは何故ですか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

これは公比1/（1+x^2）の等比級数です。

従ってそのn項までの和Snは初項をaとして

Sn=Σ[i=1～n]x/(1+x^2)^i＝a[1-(1/(1+x^2))^(n+1)]/[1-(1/(1+x^2)]

=a[1-(1/(1+x^2))^(n+1)](1+x^2)/x^2

a=x/(1+x^2)なので

Sn=[1-(1/(1+x^2))^(n+1)]/x

従って

Σ[n=1～∞]x/(1+x^2)^n=lim(n→∞）Sn=1/x

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.2

alice_44

同じ質問の前回投稿への回答に、
Σ の中身が x(rのn乗) になることを示して、
「等比級数です」と書いた上で
= xr/(1-r) としておいたのに、
等比級数が何者だか、自分で調べなかったの？
その姿勢は、ちょっとよくないよ。

お礼

すみません