Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!の変形が

質問

識者の皆様よろしくお願い致します。

B_nはz/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n! (但し,|z|<2π)を満たす数でBernoulli数といいます。
そして,B_n(x)はBernoulliの多項式です。
その時,Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)が成立つらしいのですが
どうすれは変形できるのか分かりません。どうぞご教示くださいませ。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

計算を一通り追いかけられたのであれば、あとは大したことありません。u≠0のとき、ue^{ux}/(e^u-1)のxに関するテイラー展開が存在するのは明らかで、（Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!）のxに関するテイラー展開の各項がこれと一致する（ということは収束もする）というだけの話です。細かい計算まで吟味するなら、∞と言わずにlim{j→∞} Σ_{n=0}^j をお考えになれば？

お礼

すいません。お手数お掛けしております。

ところで繰り返しですが
http://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/prop0.jpg
となったのですがどうしても上から4行目で
(∂^h/∂x^h) Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n! =Σ_{n=0}^∞(∂^h/∂x^h) u^nB_n(x)/n!
と項別微分が可能なのでしょうか?
この変形はΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!が一様収束するからだと思います。
その為にWeierstrassのM-testを利用するのだと思いますが優級数がどうしても見つけれません。
|B_n(x)u^n/n!|はどんな優級数で抑えれるのでしょうか?

あと,最後まで分母にh!が残ってしまい,u^hΣ_{n=0}^∞u^n B_n/n!が得られません。
http://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/prop0.jpg
の上から8行目からなぜか分母にh!が現れてしまってそれ以降どうしても消せません。

どうしても間違いを見つけれません。

申し訳ありません。どうかお助けください。。。

回答No.3

stomachman

率直に申し上げて、ベルヌーイ多項式をどうこうするには計算力が余りに弱過ぎです。Σが扱えないのでしょう。これはヤバいですぜ。危機感を持っていっぱい練習して下さいな。

> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)
> 右辺をxでh回微分してx→0すると

　なんだかいっぱい書いてありますが、右辺のh階微分は暗算で出来なきゃおかしいですよ。
　　((∂/∂x)^h)右辺(x) = ((u^(h+1))/(e^u-1))e^{ux)
これにx=0を代入すると
　　((∂/∂x)^h)右辺(0) = (u^(h+1))/(e^u-1)
です。

> 左辺をxでh回微分してx→0すると

　丁寧に考えれば特別難しい訳ではないんですが、どうも出来ないようですね。しょうがねーから説明しましょう。
　まず、B_n(x)のh階微分は
　　((∂/∂x)^h)(B_n(x))
　　= ((∂/∂x)^h)Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
だから
(1) n-h≧0のとき、
　　((∂/∂x)^h)(B_n(x)) = Σ{k=0}^(n-h) (nC(n-k))((n-h)!/h!)(x^(n-h-k))B_k
　　　　（総和の範囲が変わるのは、定数の微分は0だからです。）nC(n-k)を展開して
　　= Σ{k=0}^(n-h) (n!/(n-k)!/k!)((n-k)!/(n-k-h)!)(x^(n-h-k))B_k
　　= Σ{k=0}^(n-h) (n!/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k
(2) n-h＜0のとき、（全ての項がh階微分によって0になっちゃうので）
　　　((∂/∂x)^h)(B_n(x)) =0
です。
　従って左辺のh階微分は
　　((∂/∂x)^h)左辺(x)
　　= Σ_{n=0}^∞((u^n)/n! )((∂/∂x)^h)(B_n(x))
　　= Σ_{n=h}^∞((u^n)/n! )Σ{k=0}^(n-h) (n!/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k
　　　　（0の項を取り除いたから、総和の範囲が変わるんです。）
　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)Σ{k=0}^(n-h) (1/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k

　これにx=0を代入すれば、(x^(n-k-h))は(n-k-h)=0の場合（つまり定数項）以外はみんな0になるから、
　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)(1/(n-h)!)B_(n-h)
さらにm=n-hとおいてhを消去すると
　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
　　= Σ_{m=0}^∞(u^(m+h))(1/m!)B_m
　　= (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m!

　以上から、
　　 (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m! = (u^{h+1))/(e^u-1)
が成立つことが確かめられました。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 　まず、B_n(x)のh階微分は
> 　　((∂/∂x)^h)(B_n(x))
> 　　= ((∂/∂x)^h)Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
> だから
：
> 　　　　（0の項を取り除いたから、総和の範囲が変わるんです。）
> 　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)Σ{k=0}^(n-h) (1/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k

http://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/prop.jpg
となったのですがどうしても上から3行目と下から2行目の??の式変形の理由が分かりません。
∂^h/∂x^hΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=Σ_{n=0}^∞∂^h/∂x^h B_n(x)u^n/n!
の変形はΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!が一様収束するからだと思います。
その為にWeierstrassのM-testを利用するのだと思いますが優級数がどうしても見つけれません。
|B_n(x)u^n/n!|はどんな優級数で抑えれるのでしょうか?

あと,下から2行目の式変形はどのように行われたのでしょうか?

> 　これにx=0を代入すれば、(x^(n-k-h))は(n-k-h)=0の場合（つまり定数項）以外はみんな0になるから、
> 　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
> 　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)(1/(n-h)!)B_(n-h)
> さらにm=n-hとおいてhを消去すると
> 　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
> 　　= Σ_{m=0}^∞(u^(m+h))(1/m!)B_m
> 　　= (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m!

このようになる事は納得です。

> 　以上から、
> 　　 (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m! = (u^{h+1))/(e^u-1)
> が成立つことが確かめられました。

今,Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)成立を示しているのですよね。
((∂/∂x)^h)Σ_{n=0}^∞B_n(0)u^n/n!=Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m!
と
((∂/∂x)^h)ue^{u・0}/(e^u-1) = (u^(h+1))/(e^u-1)
となる事はわかりましたがこれらからどうして
等式Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)成立が言えるのでしょうか?

お手数お掛けしまして大変大変申し訳ございません。m(_ _)m

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

　なんか計算なさっているようですけど、

>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)

>> を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか

を右辺左辺それぞれやった所がどうも見つからない…

小細工無用でとにかくやってみれば？

お礼

どうも有難うございます。

>>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)
>>> を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか
> を右辺左辺それぞれやった所がどうも見つからない…
> 小細工無用でとにかくやってみれば？

Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)
の右辺をxでh回微分してx→0すると

lim_{x→0}d/dx ue^{ux}/(e^u-1)=lim_{x→0}u^2e^{ux}/(e^u-1)=u^2/(e^u-1)
lim_{x→0}d^2/dx^2 ue^{ux}/(e^u-1)=lim_{x→0}u^3e^{ux}/(e^u-1)=u^3/(e^u-1)
：
より
lim_{x→0}d^h/dx^h ue^{ux}/(e^u-1)=lim_{x→0}u^{h+1}e^{ux}/(e^u-1)
=u^{h+1}/(e^u-1)=u^hΣ_{n=0}^∞B_n u^n

となり,左辺をxでh回微分してx→0すると

lim_{x→0}d/dxΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!
=lim_{x→0}d/dxΣ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n!
=1C0 B_0 u^1/1!+2C1 B_1 u^2/2!+3C2 B_2 u^3/3!+…
lim_{x→0}d^2/dx^2Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!
=lim_{x→0}d^2/dx^2Σ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n!
=2C0 B_0 2u^2/2!+3C1 B_1 2u^3/3!+4C2 B_2 u^4/4!+…
lim_{x→0}d^3/dx^3Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!
=lim_{x→0}d^3/dx^3Σ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n!
=3C0 B_0 3・2u^3/3!+4C1 B_1 3・2u^4/4!+5C2 B_2 3・2u^5/5!+…
lim_{x→0}d^4/dx^4Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!
=lim_{x→0}d^4/dx^4Σ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n!
=4C0 B_0 4・3・2u^4/4!+5C1 B_1 4・3・2u^5/5!+6C2 B_2 4・3・2u^6/6!+…
：
より
lim_{x→0}d^h/dx^hΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!
=lim_{x→0}d^h/dx^hΣ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n!
=hC0 B_0 h・(h-1)…4・3・2u^h/h!+(h+1)C1 B_1 h・(h+1)…4・3・2u^{h+1}/(h+1)!+(h+2)C2 B_2 h・(h-1)…4・3・2u^{h+2}/(h+2)!+…
=B_0 u^h/0!+B_1 u^{h+1}/1!+B_2 u^{h+2}/2!+…
=Σ_{n=0}^∞B_n u^{h+n}/n!
=u^hΣ_{n=0}^∞B_n u^n/n!

となりました。
つまり, f(x):=Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!, g(x):=ue^{ux}/(e^u-1)と置くと
j=1,2,…,に於いて,lim_{x→∞}f(x)^(h)=lim_{x→∞}g(x)^(h)が成り立つ事が分かりました。

これからどのようにしてf(x)=g(x)が言えるのでしょうか?
お手数お掛けしまして申し訳ありません。

回答No.1

stomachman

> z/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!

はB_nの母関数です。これをzでj回微分した式は右辺の定数項がB_jになるので、z→0とするとB_jが出て来る（はず）という仕組み。

> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)

こちらはB_n(x)の母関数ですね。これをuでj回微分した式は左辺の定数項がB_j(x)になるので、u→0とするとB_j(x)が出て来る（はず）という仕組み。

　では、この式を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか？
　右辺の計算は簡単です。結果をz/(e^z-1)と比較すれば、「一体何をやったのか」が分かるでしょう。左辺を計算するには
　　B_n(x) = Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
を使う必要がありますね。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

>> z/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!
>はB_nの母関数です。これをzでj回微分した式は右辺の定数項がB_jになるので、
> z→0とするとB_jが出て来る（はず）という仕組み。

lim_{z→0}d/dz Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!=lim_{z→0}d/dz(B_0 z^0/0!+B_1 z^1/1!+…)=B_1
lim_{z→0}d^2/dz^2 Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!=lim_{z→0}d^2/dz^2(B_0 z^0/0!+B_1 z^1/1!+…)=B_2
：
lim_{z→0}d^j/dz^j Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!=lim_{z→0}d^j/dz^j(B_0 z^0/0!+B_1 z^1/1!+…)=B_j
となるのですね。

> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)
>こちらはB_n(x)の母関数ですね。

この等式成立を示したいのです。

> これをuでj回微分した式は左辺の定数項がB_j(x)になるので、
>u→0とするとB_j(x)が出て来る（はず）という仕組み。

lim_{u→0}d/duΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=lim_{u→0}d/du(B_0(x)u^0+B_1(x)u^1+…)=lim_{u→0}(B_1(x)+2B_2x^1+…)=B_1(x)
lim_{u→0}d^2/du^2Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=lim_{u→0}d^2/du^2(B_0(x)u^0+B_1(x)u^1+…)=lim_{u→0}d/du(B_1(x)+2B_2x^1+…)
=lim_{u→0}(2B_2+3・2B_3x^1+…)=2B_2(x)
lim_{u→0}d^3/du^3Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=3・2B_3(x)
：
lim_{u→0}d^j/du^jΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=j(j-1)(j-2)…3・2B_j(x)
となりますね。

>　では、この式を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか？

lim_{x→0}d/dx B_n(x)=nCn-1 B_{n-1}
lim_{x→0}d^2/dx^2 B_n(x)=2 nCn-2 B_{n-2}
：
lim_{x→0}d^h/dx^h B_n(x)=h(h-1)(h-2)…3・2 nCn-h B_{n-h}

> 右辺の計算は簡単です。結果をz/(e^z-1)と比較すれば、「一体何をやったのか」が分かるでしょう。

つまり,e^{ux}Σ_{n=0}^∞B_n u^n/n!=Σ_{n=0}^∞B_n(x) u^n/n!が成り立つという事でしょうか?

> 左辺を計算するには
>　B_n(x) = Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
> を使う必要がありますね。

ええっと,
ue^{ux}/(e^u-1)=e^{ux} u/(e^u-1)=e^{ux} Σ_{n=0}^∞B_n z^u/n!=Σ_{n=0}^∞(ux)^n/n!Σ_{k=0}^∞B_k z^u/k!
となり,一方,
Σ_{n=0}^∞B_n(x) u^n/n!=Σ_{n=0}^∞Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k)) u^n/n!
=Σ_{n=0}^∞u^n/n!Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
となりましたがこれから
Σ_{n=0}^∞(ux)^n/n!Σ_{k=0}^∞B_k z^u/k!をΣ_{n=0}^∞u^n/n!Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))に変形できません。
一体どうすればいいのでしょうか?