組み合わせのもんだい

質問

9人を次のように分ける方法は何通りあるか？

1.四人をA、三人をB、２人をCのへやにいれる
2.四人と三人と二人に分ける

これは、本質的には同じ意味なので、二つとも、
9C4*5C3＝1260
が答えらしいのですが、
どこをみて、同じだと判断できるのでしょうか？
ばらばらに出題されれば、解けると思うのですが、二つ一緒に出されてしまうと、よくわからなくなってしまいます。
よろしくお願いします。

回答No.4

KENZOU · ベストアンサー

＞1.四人をA、三人をB、２人をCのへやにいれる
＞2.四人と三人と二人に分ける
＞これは、本質的には同じ意味なので、二つとも、
＞9C4*5C3＝1260
＞が答えらしいのですが、
＞どこをみて、同じだと判断できるのでしょうか？
四人を「３つのグループに分ける」という意味では１も２も同じ意味となるのではないでしょうか。つまり３つのグループに分離するのがポイントであって、その後４人はＡ、３人はＢ、２人はＣの部屋に入れると決まっているのですから、”分け方”という観点からは１のケースも２のケースも同じ１通りということになりますね（下記Ｐ.Ｓ参照）。この点に引っかからないように注意してください。
さて、題意の通り分ける方法の数は次の(1)×(2)×(3)通りとなります。
(1)９人から４人を組み合わせる方法は　9Ｃ4　通りあります。
(2)次に９人から４人を除いた５人の内３人を組み合わせる方法は　5Ｃ3　通りとなります。
(3)残り２人から２人を組み合わせる方法は　2Ｃ2　通りとなります。従って、答えは　
　　　9Ｃ4×5Ｃ3×2Ｃ2＝1260　　(1)
通り。

（Ｐ.Ｓ）
４人、３人、２人をＡ，Ｂ，Ｃの部屋に入る入り方となるとＡ，Ｂ，Ｃいずれかの部屋が４人、３人、２人のいずれかをとるので、つまり相異なる３つのグループから順序を考えてＡ，Ｂ，Ｃの３部屋を選ぶ順列の数となりますからこの場合は　
　　　3Ｐ3＝3!＝6　(2)
通りとなり、合計では(1)×(2)＝7560　通りとなります。

●おまけ-----（蛇足です）
＜順列＞
異なるn個のものから順序を考えてr個を選ぶことを順列といいます。の並べ方の数をnPrと表します。
　　　nPr = n (n-1)…… (n-r+1) = n!/(n-r)!
【例】 6枚のカードから2枚を選ぶときの並べ方の数。
　　　6P2 = 6!/(6-2)! = 30
＜組合せ＞
異なるn個のものから順序を考えないでr個を選ぶことを組合せといいます。組合せの数を nCr と表します。
　　　nCr = nPr / r! = n! / {(n-r)! r!}
【例】 6人の中から2人を選ぶ組合せの数
　　　6C2 = 6! {(6-2)!/2!} = 15

お礼

＞３つのグループに分離するのがポイントであって、その後４人はＡ、３人はＢ、２人はＣの部屋に入れると決まっているのですから、”分け方”という観点からは１のケースも２のケースも同じ１通りということになりますね

そうですね、一通りだからですよね！
ｐｓも参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.9

shige_70

分かりやすく書きますと、要するに、問2をやったあと部屋に入れるのが問1なわけですが、4人と3人と2人に分けた時点で入る部屋は(1通りに)決まってしまうので、部屋に入れようが入れまいが場合の数は同じと言うことです。

お礼

どうもありがとうございます。
一通りってところですね。
参考にさせていただきます。

回答No.8

hinebot

#7です。

失礼しました。
部屋にいれるのが問題１でしたね。
先のアドバイスの「むしろ、」までの４行は無視ください。

お礼

ありがとうございました～。

回答No.7

hinebot

本題とまったく関係ないことで、恐縮ですが…(^^;

#6で訂正されたMizyuさん、その訂正の必要はないと思いますが。つまり、
>1の問題では、「手順1」のみ、2の問題では「手順1」、「手順2」の連続になりますよね。
のままで正しいと思いますよ。

むしろ、
>「手順2」で9人を4人:3人:2人の3組に分けます。
>パターンは仰せの通り9C4*5C3=1260通りです。

ここの「手順２」が「手順１」の誤りではと思うのですが。

回答No.6

Mizyu

> 1の問題では、「手順1」のみ、2の問題では「手順1」、「手順2」の連続になりますよね。

間違い訂正します。

2の問題では、「手順1」のみ、1の問題では「手順1」、「手順2」の連続になりますよね。
が正解です。すいません。

回答No.5

Mizyu

同じですね。

考え方はこのような感じですかね。
まず、人数を分ける行為を「手順1」とします。
分けたグループを部屋に入れる行為を「手順2」とします。

1の問題では、「手順1」のみ、2の問題では「手順1」、「手順2」の連続になりますよね。
「手順2」で9人を4人:3人:2人の3組に分けます。
パターンは仰せの通り9C4*5C3=1260通りです。
ついで、「手順２」ですが
4人をXグループ、3人をYグループ、2人をZグループとします。
XグループはA部屋、YグループはB部屋、ZグループはC部屋にしか入りません。
よってパターンは1通り。
なので式としては1260*1=1260の1260通りです。

ですが、A部屋、B部屋、C部屋の人数が決められていない場合、
もしくは最初に分けた人数が3:3:3や4:4:2などかぶる場合は
手順2の段階でのパターンが増えるのでそれをかけてやる必要があります。
たとえば人数が決められていない場合は
(X,Y,Z)=
　(A,B,C),
　(A,C,B),
　(B,A,C),
　(B,C,A),
　(C,A,B),
　(C,B,A),
の6通りになるので、1260*6 = 7560通りになります。

お礼

ありがとうございます！
手順を分けて考えるとわかりやすいですね。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました～。

回答No.3

fushigichan

stripeさん、こんにちは。
そういわれれば、難しそうですね・・

では、こう考えてみたらどうでしょう。

　　　　　　｜　　　　　　　｜　　　　　
　　　　　　｜　　　　　　　｜　　　　　　　

上のような、区切られた場所に、４人、３人、２人を入れる。
左側のところには、９人のうち４人を入れる入れ方で9C4とおり。
真ん中のところには、残り５人のうち、３人を入れればいいので、5C2とおり。
残りは自動的に右側の領域に入るので、全部で
　9C4*5C3=1260　とおり

ここで、区切られた左側を部屋A、真ん中を部屋B、右を部屋C
だと思えばいいわけですよね。

＞ばらばらに出題されれば、解けると思うのですが、
二つ一緒に出されてしまうと、よくわからなくなってしまいます。

ばらばらだと解ける、ということなので、あまり心配しなくてもよいとみました。
頑張ってください。

お礼

＞ここで、区切られた左側を部屋A、真ん中を部屋B、右を部屋C
だと思えばいいわけですよね。

こう考えるとわかりやすいです。
覚えておきたいと思います。
ありがとうございました～。

回答No.2

nikorin

これは数学の問題というより国語の問題でしょう。
「四人をA、三人をB、２人をCのへやにいれる」というのを
「四人と三人と二人に分け」てからＡ,Ｂ,Ｃの各部屋に
いれても結局やってることはいっしょですよね。
「本質的には同じ意味」というのはこういうことを言ってるのです。

お礼

ありがとうございました、参考にさせていただきます。

回答No.1

taknt

＞どこをみて、同じだと判断できるのでしょうか？

解いて 同じ答えになれば 同じと 判断できます。

つまり、ぱっと見たとき、頭の中で 解いて 同じと判定するのでしょう。

解き方として
最初の組み合わせが ９人から ４人。
次が ５人から ３人。それで 残りとなります。

お礼

ありがとうございました、参考にさせていただきます。