高校数学の順列・組み合わせの問題です。

質問

※・はスペースの代わりです。
・8人の人間を A, B, C の 3 つの部屋に分ける。ただし空の部屋があってはいけない。分け方は何通りか。
・まず空の部屋があってよい場合は
・・3^8 = 6,561 通り。

　a)空の部屋が 2 つあるとき
・・8 人が全員 1 つの部屋へ入るのだから 3 通り。
・b)空の部屋が 1 つあるとき
・・8 人が 2 つの部屋へ入る。ただしこの 2 部屋には少なくとも 1 人は入らなければならない。
・・部屋 A だけが空の部屋なるとする。8 人が残り 2 つの部屋へ入るとき、空の部屋があってよい場合の入り方はは 2^8 = 256 通り。空になるのは B か C の 2 通り。よって 256 - 2 = 254。同様に B または C だけが空の部屋となる場合の数も 254 通り。
・したがって求める分け方は
・・6,561 - 254*3 - 3 = 5,796 通り。

・以上は参考書（坂田アキラの確率）に載っていた問題です。これを次のような解法で解きました。
・A, B, C が空になることはない。このときの 8 人の振り分け方の組み合わせは以下の 5 通り。
・・A| 1 1 1 2 2
・・B| 1 2 3 3 4
・・C| 6 5 4 3 2

・部屋を区別するのだからこの '振り分けた組の順列' を考えなければなりません。[1][2][3]の場合でも人は区別するのだから順列は3！でいいと思うのですが、2! で割らないと答が合いません。これはなぜなのでしょうか。
[1]・・・・・・(1, 1, 6)・・・・・・3!/2! = 3・・3*8C1*7C1 = 168
・・・・・・・・(1, 2, 5)・・・・・・3! = 6・・6*8C1*7C2 = 1008
・・・・・・・・(1, 3, 4)・・・・・・3! = 6・・6*8C1*7C3 = 1680
[2]・・・・・・(2, 3, 3)・・・・・・3!/2! = 3・・3*8C2*6C3 = 1680
[3]・・・・・・(2, 4, 2)・・・・・・3!/2! = 3・・3*8C2*6C4 = 1260
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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・5,796

回答No.1

j-mayol · ベストアンサー

たとえばこういうことです。８人のうち２人をア、イとすると
3*8C1*7C1は
（１）8C1でア　7C1でイが選ばれた場合
（２）8C1でイ　7C1でアが選ばれた場合を別個に数えていますね。
さらにこれに3!をかけるということは（ａ）8C1で選んだ人をＡ、7C1で選んだ人をＢに入れる場合と、（ｂ）8C1で選んだ人をＢ、7C1で選んだ人をＡに入れる場合も別のものとして数えることになるわけです。
（１）（２）と（ａ）（ｂ）を考え合わせると二重に数えていることが納得いただけるのではないかと思います。