組み合わせの問題です。

質問

９人で旅行に行った。部屋の割り当てを以下のようにするとき、それぞれ何通りの組み合わせがあるか？
（１）３人ずつ、Ａ，Ｂ，Ｃの部屋の入れる
（２）３人ずつ３組に分ける。
といった問題なのですが、

私的には、
（１）の回答は、まず３組への分け方が9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3=1680通りで、
部屋への入れ方も６通りあるので、1680×6=10080通り

（２）の回答は、9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3=1680通り

以上のようになると思うのですが、解答では、
（１）9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3=1680通り
（２）（１）と比べ部屋の区別がないので、1680/6=280通り

となっていますが、考え方がよく分かりません。

私の考え方が間違っているのか解答の方が間違っているのか、分かる方が
いましたら、よろしくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

残念ながら質問者さんが間違っています。勘違いしやすい
ところだとは思います。組み合わせの計算Cは選んだものを区別しませんが、
選ぶ、選ばないの区別はしています。それは部屋わけしているのと同じです。

簡単な説明としてはA,B,C,D,E,Fの6個から3個を選ぶのに
6C3と計算すると思いますが、ここには既に選ぶ、選ばないの
区別があります。A,B,Cを選んだときに残るのはD,E,Fですが、
6C3の計算にはA,B,CもD,E,Fも数に入っています。
なので、部屋わけなどの区別をしないなら2で割る必要が
あります。一度、全部書き出してみればよく分かるのではないでしょうか。

問題の場合も同じで1-9までの数字を選んだときに

最初に選ぶ　次に選ぶ　最後に残る
1,2,3　　　　　　4,5,6　　　7,8,9
と
4,5,6　　　　　　7,8,9　　　1,2,3

は9C3*6C3*3C3の計算では区別して勘定しています。
すでに重複が3!だけあります。部屋割りなどならそのままで
いいですが、区別をしないグループ分けなら3!で割る必要があります。

お礼

＞＞組み合わせの計算Cは選んだものを区別しませんが、
＞＞選ぶ、選ばないの区別はしています。それは部屋わけしているのと同じです。

丁寧にご解説いただきありがとうございます。既に部屋わけされているのと同じになるのですね。

回答No.2

debut

考え方というより、誤解のような気がします。

9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3でもうすでに部屋割りをしていますよ。

a,b,c,d,e,f,g,h,iの９人を
最初の9Ｃ3で(a,b,c)を選び、6Ｃ3で(d,e,f)を選び、残り(g,h,i)
とするのと、
最初の9Ｃ3で(a,b,c)を選び、6Ｃ3で(g,h,i)を選び、残り(d,e,f)
とするのを区別して計算しているわけですよね？

だから、同じ、a,b,c/d,e,f/g,h,i　の組み分けでもＣを計算して
いる時点で選んだものの置き場所も指定しているわけです。

それで、(2)ではその同じメンバーになる組み分けでの入れかえ
パターン３！通りで割ることにより、この場所指定を解除して
いるんです。

お礼

＞＞9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3でもうすでに部屋割りをしていますよ。

確かによくよく考えてみると、既に部屋割りがされた状態になりますね。
ご丁寧な解説ありがとうございます。