組み合わせの問題です。大学受験問題

質問

よろしくお願い致します。組み合わせの問題で、いまいち納得できないところがあります。正直、場合の数、順列、組み合わせが問題を読んだだけではよくわかりません。例えばさいころ二つあった場合、それを区別するのかどうかわからないことがよくあります。

問題、
６人を次のグループに分ける方法は何通りあるか？
１、4人、二人、
２、Aグループ２人、Bグループ２人、Cグループ２人
３、二人、二人、二人、

１はわかりました。ですが、２と３の答え、解法がいまいち納得できません。
解答は、２、６C２×４C2×１＝９０
３、90/6＝15
です。
２の解法について、○C○は、順列（○P○）でなく、組み合わせの求め方だと思います。どうして、ここで、○C○で、順列が求まっているのでしょうか？
２、と３を比較すると、２が順列、３が組み合わせを聞いているのだと思います。でも、２、６C２×４C2×１＝９０は組み合わせだと思うので、これだと、３の答えになると思います。そして、２の答えだと、並べ方を考えて、90×6としてしまいます。

解答が間違っているとは思いませんが、どうして、２、６C２×４C2×１＝９０で、２の答えとなるのかがわかりません。

基本だとは思いますが、よろしくお願い致します。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

１の問題のせいで、混乱させられたようですね。
　実は、１の問題はグループの組み合わせを求めるように見えて、グループの順列を求めているのです。なぜならば、グループ分けの人数が4人と2人となって異なっているからです。
　もし、問題１が「3人と3人のグループに分ける」という問題だったとしたら、どのように計算したでしょう。
　元の問題「4人と2人」では、６Ｃ４＝１５　と計算したことでしょう。
　しかし、「3人と3人のグループに分ける」の場合には、
　　６Ｃ３／２！＝２０
と計算しなければなりません。というのは、グループ分けの人数が同数の場合は、グループの区別が付けられていないので、仮に最初のグループＡに１，２，３と名づけられた人たちが入って、グループＢに４，５，６という人が入った場合と、その人たちがすべて入れ替わったときは、同じ分け方だとして勘定しなければならないからです。

　そこで、お分かりになったと思いますが、コンビネーションＣを使って出す計算は、組み合わせだけだとは限らないことです。
　このグループ分けのように、グループの順列が考慮されている場合には、コンビネーションＣを使うことに注意してください。
　それでは、順列なのになぜパーミテーションＰを使わないかと疑問をもたれるかもしれませんが、それは、グループ内の順番を考慮していないからです。もし、グループ内に席順などがあって、その順番も考慮する場合は、パーミテーションＰを使います。
　つまり、ここでコンビネーションＣを使うのは、グループ内の順列を考慮しないということだけであって、グループの順列を考慮しないことではないのです。

　さて、ここまでの説明が納得されれば、問題２と３の理由は、はっきりしてくるものと思います。
　問題２は、すべて同じ人数でグループ分けしていますが、グループに名前が振られているので、グループの順列を考慮しなければなりません。（もちろん、グループ内の順列は考慮していません。）
　従って、最初に6人から2人を、残りの4人から2人を、さらに残りの2人から2人を選ぶ組み合わせとして、
　　６Ｃ２×４Ｃ２×２Ｃ２＝6！／(2！2！2！)
を計算することになるのです。そして、このグループ分けにはグループの順列が考慮されているので、このまま何も割らずに、そのままの数が場合の数になります。
　ちなみに、この計算は、重複を許す順列となっていて、6個の中から2個ずつの重複を許した順列と同じ式になっています。（この考えは難しいかもしれませんので、あくまで参考情報として、聞いてもらえれば十分です。）
　　6！／(2！2！2！)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%88%97#.E9.87.8D.E8.A4.87.E3.82.92.E8.A8.B1.E3.81.99.E5.A0.B4.E5.90.88

　あとは、問題３ですが、問題２がグループの順列を考慮していることを理解してもらえれば、グループの順列を組み合わせに変えるときのダブりの数　6！　で割ることはお分かりになると思います。

　以上で説明は終わりですが、もし分からないことがありましたが、また補足欄にでも質問してください。

お礼

御回答ありがとうございます。
「4人と2人」と「3人と3人のグループに分ける」というので、考え方が違う、というのは、目からうろこでした。
今回の問題は、グループは順列を考慮し、グループ内は順列を考慮しない、ということだったのですね。
２と３の問題の違いがよくわかりました。CとPの違いは、ただ公式を覚えるだけでなく、理由も添えて覚える、とは思っているのですが、なかなか難しいです。
ご丁寧な御回答ありがとうございます。

回答No.6

koko_u_

>>このため、A のメンバーを選択する際に 6人から 2人を順序を区別せずに
>>選択するので 6Ｃ2 となっているのです。
>が、なぜこうなるのかは、やはりよくは分かりませんでした。
>組み合わせと順列のときの違いはわかるのです。

最初に書いたように、わからん時は、すべての場合を書き出すんだ。

「順列」も「組み合わせ」も「場合の数」を求める場合の特殊なケースの一つです。しかし、これを文字通り組み合わせると、様々な場合の数を求めることができます。

すべての場合を書き出していくと、どの部分に「順列」が適用できて、どの部分に「組み合わせ」が適用できるのか、そのうちわかるようになります。(多分)

重要なのは、「この場合は順列で」「この場合は組み合わせ」のような、どこかの頭のワルイ丸暗記受験生のようにならないことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ですが、中学から、いやもっと以前？から書き出してやっているのに、いまだにわからない、というのが情けないです。
数をただやるよりも、もう一度、組み合わせ、順列、場合の数をそれぞれ理解しようと思って、復習しています。
ですが、なかなか思うようにはいかないのです。

回答No.5

kkkk2222

＞＞例えばさいころ二つあった場合、それを区別するのか・・・。
＜区別できない＞と書いてあっても、
＜区別する＞とする考える方が多いです。

１、は＜２人、４人＞のため、
　グループは＜自然に区別され＞、
　Ｃ［６、２］　これ以上の操作は、不要になります。

２、は＜Ａ、Ｂ、Ｃ、とグループに（名前）がついているので）、
　グループは＜自然に区別され＞、
　Ｃ［６、２］＊Ｃ［４、２］＊Ｃ［２、２］　これ以上の操作は、不要になります。

３、は、２人ずつ３組に分けるので、２、を（ある数で割ります）。

Ａ（１２）、Ｂ（３４）、Ｃ（５６）
Ａ（１２）、Ｂ（５６）、Ｃ（３４）
Ａ（３４）、Ｂ（１２）、Ｃ（５６）
Ａ（３４）、Ｂ（５６）、Ｃ（１２）
Ａ（５６）、Ｂ（３４）、Ｃ（１２）
Ａ（５６）、Ｂ（１２）、Ｃ（３４）　は異なりますが、ＡＢＣのグループ名が消失すると、

（１２）、（３４）、（５６）
（１２）、（５６）、（３４）
（３４）、（１２）、（５６）
（３４）、（５６）、（１２）
（５６）、（３４）、（１２）
（５６）、（１２）、（３４）　は全て（同じ）なので、３！＝６倍　重複されているので、

２の解を、３！で割ります。
（Ｃ［６、２］＊Ｃ［４、２］＊Ｃ［２、２］）／３！　となります。
ーーー

＞＞２の解法、○C○は、順列（○P○）でなく、
組み合わせの求め方だと思います。
どうして、ここで、○C○で、順列が求まっているのでしょうか？

（順列）とも（組合せ）ともとれます。
１２３４５６の（順列）は６！。此れを、２人ずつ３ブロックに分け、左から順にＡＢＣと名前をつけます、ただしブロック内は（交替可能なので）２！２！２！で割ります。
｜１２｜３４｜５６｜、の場合の数は　６！／（２！２！２！）、
また
（Ｃ［６、２］＊Ｃ［４、２］＊Ｃ［２、２］）＝６！／（２！２！２！）　となります。
（（６＊５）／（２＊１））（（４＊３）／（２＊１））（（２＊１）／（２＊１））
＝（６＊５＊４＊３＊２＊１）／（２＊１）（２＊１）（２＊１）　となり、自然な結果になります。

此れは（順列）とも（組合せ）ともとれます。
問題によっては、（順列）でも（組合せ）解けます。
＜（順列）と（組合せ）は（密接）な関係がある＞と書いた方が良いのでしょうか。

＞＞２、と３を比較すると、・・・
無理に回答するならば、
２は、順列の組合せ
３は、順列の組合せの組合せ。なのですが、書いている本人も（？？）です。

お礼

御回答いただきまして、ありがとうございます。
なるほど、この問題は、順列と組み合わせの混合？問題なのですね。
いつも、いずれか一方だと思っていたので、自分がわかっていなかったところがわかりました。
また、
＞１２３４５６の（順列）は６！。此れを、２人ずつ３ブロックに分け、左から順にＡＢＣと名前をつけます、ただしブロック内は（交替可能なので）２！２！２！で割ります。
＞｜１２｜３４｜５６｜、の場合の数は　６！／（２！２！２！）、
という説明がすごくわかりやすかったです。なるほど、と。
もともと、A,B、C、という場所があり、そこに並べていくというような考え方がいいのかなと思いました。

＞＞例えばさいころ二つあった場合、それを区別するのか・・・。
＞＜区別できない＞と書いてあっても、
＞＜区別する＞とする考える方が多いです。
これはちょっとわかりませんでした。区別できないのに区別する？
またわからないときは質問させていただきます。

今回の問題は今はわかったつもりですか、完全に理解できているかどうかは不安です。練習問題をたくさん取り組みたいと思います。ありがとうございました。

回答No.3

noname#62650

自信はないですが…。

２について
グループの中では、２人が並ぶまたは選ばれる順番は関係ないし、ABC、ACB、BCAなど、グループの並ぶ順も関係ないので、順列ではないと思います。
ただ、グループを区別しているだけと考えて、
6C2…６人から１つ目のグループのために２人選ぶ
4C2…残りの４人から２つ目のグループのために２人選ぶ
1＝2C2…残りの２人から２人選ぶ

３は、２のグループを区別せずに考えるので、６で割る。

っていうような感じでしょうか…。
ポイントは区別と順番に並べるのとは違うっていう所じゃないかと思います。わかりにくい回答で申し訳ないですが、少しでも参考になればと思います。

お礼

御回答ありがとうございます。
＞ただ、グループを区別しているだけと考えて、
というところが自分ではどう式に表せばよいのかわかりませんでした。
組み合わせだけを考慮する場合３！で割るのは理解しています。
ありがとうございます。

回答No.2

debut

Ａ，Ｂ，Ｃグループに２人ずつ入れていくのは順列では
ないと思いますが。中に入る人には順番が関係ないです。
Ａに入る２人は 6C2 通り、Ｂに入る２人は 4C2 通り、
Ｃに入る２人は残りの２人なので１通り。

６人をa,b,c,d,e,fとします。
例えば（a,b),(c,d),(e,f)と分けた場合、
２の問のときは、
　Ａグループ(a,b)、Ｂグループ(c,d)、Ｃグループ(e,f)と
　Ａグループ(c,d)、Ｂグループ(a,b)、Ｃグループ(e,f)など
　は違うわけ方とみます。
しかし、３の問のときには上の２つは同じ分け方になります。
（グループ名がないから）
２の問の時には、入るメンバーは同じなのにグループの名前
のつけ方が３！通りあるわけです。
なので、３の問ではグループ名をつけないために２の問の
場合の数を３！で割ることになります。

お礼

御回答ありがとうございます。
順列と組み合わせの両方の考え方が混ざった問題だったのですね。
グループ内では、順列は考えないが、グループでは順列を考えるということですね。
組み合わせの際に３！でわるのは、理解しています。
ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

具体的に列挙することを繰り返すと、いくらか分かるようになるやも知れません。

2 の場合で言うと、A グループ、B グループ、C グループ と「グループ」は区別されています。
しかし A グループのメンバー 2人は区別されていません。

書くと(メンバーを数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 として)

A:{1,2}, B:{3,4}, C:{5,6}
と
A:{3,4}, A:{1,2}, C:{5,6}
は区別され、

A:{1,2}, B:{3,4}, C:{5,6}
と
A:{2,1}, B:{3,4}, C:{5,6}
は同じと看倣されます。
このため、A のメンバーを選択する際に 6人から 2人を順序を区別せずに選択するので 6Ｃ2 となっているのです。
ここで、A → B → C のグループの順にメンバーを決定しているので、グループの区別はついています。

逆に 3 の場合は A グループ、B グループ、C グループの区別もなくなりました。このため、上記で A → B → C の順に選んだチーム分けも A → C → B の順で選んだチーム分けも同じと看倣され、A B C の順列 3! で割り算されています。

お礼

御回答ありがとうございます。
ですが、
＞このため、A のメンバーを選択する際に 6人から 2人を順序を区別せずに選択するので 6Ｃ2 となっているのです。
が、なぜこうなるのかは、やはりよくは分かりませんでした。

組み合わせと順列のときの違いはわかるのです。
３つのグループをカウントするかしないかで、3!とおりあるから、組み合わせだけの場合は、3!でわればよいということですよね。

ありがとうございました。