友達からarcsin x のx=0を中心とするテイラー展開(|x|<1

質問

友達からarcsin x のx=0を中心とするテイラー展開(|x|<1)を教えてと言われ，ライプニッツの公式を使って説明しようとすると習っていないらしく，さらにニュートンの二項定理も習っていないと言われました。
この２つを使わずにarcsin x を説明するにはどのように説明するのがよいか教えていただけないでしょうか？
地道にn階微分もしてみたのですが，計算が面倒になりすぎるのと，イマイチ規則性が掴めません。
どなたか解説お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

テイラー展開を何に用いるかで考え方が変わります。
通常低次の1項か２項をとってxの小さいところの値を求めるのに使います。高次までとるのはしんどいだけで、数値計算を本格的にやるにはコンピューターが適しています。
arcsinxは絵を描いてみればわかるように|x|<1ではsinxに似ています。
sinxがy=xから少しずつ下がっていくのとまったく同じ調子でarcsinxはy=xから少しずつ増えていきます。
結論
y=sinxの展開式はy=x-x^3/6+...
y=arcsinxの展開式はy=x+x^3/6+...

回答No.1

Ginzang

貴方の質問は、例えて言うなら「息継ぎの方法を知らないまま、平泳ぎで25メートル泳げるようにするにはどうすればよいか？」というのに似ている。
何事にも順序がある。テイラー展開を求めるのに、ニュートンの二項定理は是非とも知っておくべきものである。これを機に、友達に二項定理から教えることを勧めたい。

なお、 (1 - x^2)^(1/2) を展開するときは、一旦 t = x^2 とおいて (1 - t)^(1/2) のn階微分を求めることで展開し、その結果に t = x^2 を代入するべきである。

補足

確かに私も普通は二項定理やライプニッツを教えてから，テイラー展開をやるべきだと思いますが，学校で教えていないのだから俺にはどうにもできません。
さらに，先生が偏屈な先生らしく，学校で教えた方法の中で解かないとダメという先生らしいのです。
なので，質問にライプニッツや二項定理を使用せずにという条件をつけたのです。