数学Aの問題です。

質問

nが３以上の整数のとき、xのn乗＋２掛けるｙのｎ乗＝４掛けるｚのｎ乗はｘ＝ｙ＝ｚ＝０以外に存在しないことを証明せよ。
ｘ＝ｙ＝ｚ＝０でない整数ｘ、ｙ、ｚで題意の式を満たすものがあると仮定する。～～～～～～
よって、題意の式を満たす整数ｘ、ｙ、ｚは全て2の倍数である。・・・・・・(1)
ｘ＝２ｋ、ｙ＝２ｌ、ｚ＝２ｍ（ｋ、ｌ、ｍは整数）として題意の式に代入すると、ｋのｎ乗＋２掛けるlのｎ乗＝４掛けるｍのｎ乗となる。
よって整数ｋ、ｌ、ｍは題意の式を満たすから、
ｘ、ｙ、ｚが題意の式を満たせばｘ／２、ｙ／２、ｚ／２も題意の式を満たす。・・・・・・・(2)
仮定より、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは０でない。０でない整数は全て、２のp乗かける（２ｑ－１）｛p、qは整数でｐは０以上｝の形に表される。よってｘ、ｙ、ｚ、の０でないものの内、２の指数pの最小のものをＮとすると、ｘ／２のＮ乗、ｙ／２のＮ乗、ｚ／２のＮ乗のうち少なくともひとつは奇数となる。
ゆえに、ｘ、ｙ、ｚは(2)により題意の式を満たすが、(1)を満たさないから矛盾する。
したがって、ｎが３以上の整数のとき、題意の式を満たす整数ｘ、ｙ、ｚは」ｘ＝ｙ＝ｚ＝０だけである。終。
この回答の(2)の下からをやることの持つ意味と、なぜ少なくともひとつは奇数になれば、ゆえににつながるかを詳しく教えてください

回答No.1

owata-www

（２）でｘ／２＝Ｘ、ｙ／２＝Ｙ、ｚ／２＝Ｚとおけば、Ｘ＾ｎ＋２＊Ｙ＾ｎ＝４＊Ｚ＾ｎが満たされることになります。つまり、(1)がまた成り立つわけで、Ｘ、Ｙ、Ｚは２の倍数である…　と繰り返していくとｘ／２＾ｋ、ｙ／２＾ｋ、ｚ／２＾ｋも
（ｘ／２＾ｋ）＾ｎ＋２＊（ｙ／２＾ｋ）＾ｎ＝４＊（ｚ／２＾ｋ）＾ｎを満たす…※というわけです。

x＝a×２＾ｂ（aは奇数）と表せます。同様にyとｚも表せます。
つまり、（２）を繰り返していくとｘ、ｙ、ｚのうちどれかは必ず奇数になります。
例えば、x=10だったら、x/2は奇数になりますし、x=12だったら、（ｘ/２）/２は奇数になります。

よって、
＞仮定より、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは０でない。０でない整数は全て、２のp乗かける（２ｑ－１）｛p、qは整数でｐは０以上｝の形に表される。よってｘ、ｙ、ｚ、の０でないものの内、２の指数pの最小のものをＮとすると、ｘ／２のＮ乗、ｙ／２のＮ乗、ｚ／２のＮ乗のうち少なくともひとつは奇数となる。
となるわけです。

ここで、ｘ／２のＮ乗＝Ａ、ｙ／２のＮ乗＝Ｂ、ｚ／２のＮ乗＝Ｃとおくと※より
Ａ＾ｎ＋２＊Ｂ＾ｎ＝４＊Ｃ＾ｎを満たします
が、ここで、仮定（ｘ＝ｙ＝ｚ＝０でない）よりＡ、Ｂ、Ｃのどれかは奇数になります。しかし、これは（１）と矛盾します。よって、…

というわけです。

お礼

ありがとうございます。あなたは東京大学のひとですね MAYBE