三角関数の定積分

質問

nは n≧2 の整数としたとき、

　∫[nπ,(n+1)π] x/{1+(x^6)(sinx)^2} dx ＜ 1/n^2

を示せ、という問題なのですが、上手い解法が見つかりません。
∫[nπ,(n+1)π] x/{1+(x^6)(sinx)^2} dx ＜ ∫[nπ,(n+1)π] g(x) dx となり、しかも積分出来そうなxについての式 g(x) を新たに置いていけばいいのかなと思いましたが、中々それも思いつきません。

数学に造詣の深い方、どうかご協力お願い致します。

回答No.1

stead2009

参考までに、与えられた積分をI_nとでもおいて積分区間を[(n-1)π,nπ]に変えるような変数変換を施し、I_(n-1)で表して漸化式なんて問題は見たことあります。（この問題に対して有効かはまだ調べてませんが）

補足

有難うございます。ご教授の通り、 y=x-π と置いて積分区間を[(n-1)π,nπ]としてみましたが、肝心の積分内容の方が

　∫ [(n-1)π,nπ] (y+π)/{1+(y+π)^6*sin^2(y+π)} dy

となり、(y+π)^6をどう上手く展開してみても I_n = aI_(n-1)+b のように表せそうにありません。