正弦関数の直交性

質問

https://www.yukisako.xyz/entry/fourier-transform
のフーリエ解析の解説はいろいろ違和感のあるところが多いのですが、たとえば添付画像の

　　∫[-π→π]sin(2x)sin(3x) dx = 0 ⇒ ∫[-∞→∞]sin(2x)sin(3x) dx = 0

という表現は問題ないのでしょうか？
　　sin(kπ) = 0 （kは整数）
ですから k→∞ のとき sin(kπ) = 0 は問題ないと思うのですが
　m ≠ n のとき
　　∫[-∞→∞]sin(mx)sin(nx) dx
　= (1/2)∫[-∞→∞]( cos(m-n)x - cos(m+n)x ) dx
　= (1/2){ sin(m-n)x/(m-n) - sin(m+n)x/(m+n) }[-∞→∞] = 0
としていいものかどうか。位相である x を単にx→±∞としても上の式が成り立つのかどうかよくわかりません。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

話の流れとしては∫[-π→π]sin(2x)sin(3x) dx = 0であれば
∫[-∞→∞]sin(2x)sin(3x) dx
= lim[k→∞] ∫[-kπ→kπ]sin(2x)sin(3x) dx
= lim[k→∞] k∫[-π→π]sin(2x)sin(3x) dx
= lim[k→∞] k*0
= 0
と言ってるんだよね。

お礼

あ！　なるほど。その表現ならなっとくですね。