数学の距離空間について。

質問

Xを任意の集合とし、

ｄ（x,y）＝０（x＝ｙ）、１（x≠ｙ）

で、関数d：X　×　X　→Ｒを定める。

Xの任意の部分集合は距離ｄに関して開集合、閉集合であることを示せ。特に、一点である｛x｝、x
∈Xは開集合である。

という問題がわかりません。
ご指導よろしくお願いします。

回答No.5

OurSQL

「回答番号：No.3」への補足で、

>B(x,r):={y∈Ｘ| |y-x|＜r}

と書かれているため、「回答番号：No.2」への補足に書かれている

>B(x,r)は、r≦1のとき、{x}のみの一点となることがわかりました。

というコメントを、信じていいのかどうか判断できません（そもそも X は任意の集合ですから、x や y は数とは限らず、引き算など可能なのでしょうか）。

B(x,r) の定義が曖昧では、X の開集合も定義できないので、「一点である｛x｝、x∈Xは開集合である」ことが理解できなくて当然です。

「回答番号：No.1」はわずか２行ですが、分かりやすい説明なので、もう一度よく読んでみるといいと思います。

{ y ∈ X | d ( x, y ) < 1 } = B ( x, 1 )

となります。

回答No.4

koko_u_u

>dは最初に書いた通りの定義です。

一応、問い掛けてみたんですけどね。
d の定義に従って B を表現して補足にどうぞ。

回答No.3

koko_u_u

>r＞1のときにBがＸ全体となる理由がわかりません。

B(x, r) の定義は何ですか？
距離 d の定義はどうなっていますか？

補足

B(x,r):={y∈Ｘ| |y-x|＜r}
の開球体？です。

dは最初に書いた通りの定義です。

回答No.2

koko_u_u

関数 d が X 上の距離になっていることはわかりましたか？

補足

はい、わかりました。本で調べてみたところ、B(x,r)は、r≦1のとき、{x}のみの一点となることがわかりました。ですが、r＞1のときにBがＸ全体となる理由がわかりません。

また、そこから閉集合かつ開集合になる理由もわかりません…。ご指導いただきたいです。

回答No.1

hugen

[y|d(x,y)<1]={x}⊂{x}
A=∪[x∈A]{x}

補足

すいません、問題文に誤りがありました。

Xの任意の部分集合は距離ｄに関して開集合「かつ」　閉集合であることを示せ。特に、一点である｛x｝、x∈Xは開集合である。

でした。