開集合の定義が分かりません

質問

ＶをＲの部分集合とおく。
０に限りなく近いが０じゃない非負の値をαとする。
Ｖに含まれる任意の元xに対して、
0<ε＝αとおくとxのα-開近傍＝{y∈Ｒ｜d(x, y)<α｝＝x∈Ｖ⊂Ｖ
よってＶは開集合なのだと思うのですがＶ＝[0, 1]でも成り立つと思います。
開集合の定義を具体的に教えてくれませんか？

回答No.2

MagicianKuma · ベストアンサー

>xのε-開近傍をみたすのはｘのみなので
この認識がそもそも間違っています。0<ε＝αですから、xの近傍は(x-α,x+α)です。この中に無限の実数y∈Rがあります。αをどんなに小さくしても良いけど0ではないわけです。Ｖ＝[0, 1]を考えると、x=0,x=1では、どんなに小さくαをとっても近傍内の全ての点yをVに含めることができないので、Ｖ＝[0, 1]は閉集合の定義を満たさないわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
どんな０に近い０じゃない非負の数αをもってきてもαに1/2倍すると０とαの間
にα/2が存在しα-α/2>0よりαのα-α/2開近傍は（0,1）に含まれるのですね。でも[0,1]だとその方法は確かにできませんね。恥ずかしながらやっと分かりました。

回答No.4

uyama33

0<ε＝αとおくとxのα-開近傍＝{y∈Ｒ｜d(x, y)<α｝＝x∈Ｖ⊂Ｖ

この部分で、Vの元ｘをとって、つぎに、このｘに対してαを決めます。
ここで、決めたαは失敗だと分かるまでは変更してはいけません。
たとえば、ｘ＝０、α＝0.1だとします。
このとき、ｘのα開近傍には
-0.01、-0.001、-0.00001、、0.00001,0.002
などが入っています。
Vは0以上1以下の実数の集合ですから、上の数値のうちで負のものはVからはみ出します。
したがって、０の0.1開近傍はVには含まれません。
0の0.001開近傍を考えても、負の数が入ってきてしまうので、Vには入りません。

αは正の数で、決めたら変更不可ですので、決定したαによる０のα開近傍がVに入るようにはできません。

集合{y∈Ｒ｜d(x, y)<α｝のα＞０に関する全ての共通部分はxになりますが、
これは、ｘのα開近傍ではありません。
αは一度決めたら固定します。

お礼

回答ありがとうございます。
[a,b]でどんなαを定義しても(α-a)/2<αとなる（α-a)/2が存在するためaのα-開近傍はa以外にも存在しますね。[0,1]は定義を満たしませんね。

回答No.3

MagicianKuma

誤入力がありました。訂正します。
誤：Ｖ＝[0, 1]は閉集合の定義を満たさないわけです。
正：Ｖ＝[0, 1]は開集合の定義を満たさないわけです。

回答No.1

MagicianKuma

Ｖ＝[0, 1] とすると、Ｖに含まれる任意の元xに対して　だから、x=0としてもよいよね。
では、x=0のα-開近傍の点は全てVに含まれるようにαを設定できますか？　
y=-α/2 とおけば、d(0,y)<α　ですが、Vには含まれませんよね。

お礼

回答ありがとうございます。
αを０に限りなく近いが０じゃない非負の実数とおくとεは０より大きい数ならよく
任意のx∈Ｖに対してＶがｘのε-開近傍を含むようなε>0を一つ見つければ良く、
ε＝αとおくとxのε-開近傍をみたすのはｘのみなので[0,1]内の０のα-開近傍
は０で[0,1]に含まれると思ったのですが・・・。