写像の連続性について

質問

(Z,d)から任意の距離空間(Y,d_Y)への任意の写像fが連続であることを証明したいです。
ただし、Zは整数全体の集合でd(x,y)=|x-y|です。

任意の写像fの連続性について証明するのでYの任意の開集合Oについてf^(-1)(O)がZの開集合であることを示そうと考えたのですが、fが任意なのでf^(-1)もどのような様子かわからず困っています。

以下、自分の回答を掲載します。間違えている点と、どのように考えるべきかを教えてください。

任意のx,y∈Zに対しf(x),f(y)が存在する。
Oは開集合なのであるε(>0)が存在し、
f(y)∈N(f(x);ε)⊂O
⇔
y∈f^(-1){N(f(x);ε)}⊂f^(-1)(O)

ここまでです。よろしくお願いします。

回答No.1

superkeroyon · ベストアンサー

>Yの任意の開集合Oについてf^(-1)(O)がZの開集合であることを示そうと考えた

これにそっていきますか。では次を使いましょう：

距離空間の部分集合Aが開集合である必要十分条件は、任意のAの元aに対して、ある正の数ε＞０が存在し
aを中心とするε-ball B(a:ε)がAに含まれることである。

（元の問題に戻って）
任意のf^(-1)(O)の元をxとしましょう。B(x:ε)⊂f^(-1)(O)となるような、ε＞０が選べればOkです。
以下はヒントです：εを十分小さくとればB(x:ε)＝｛x｝となるはずです、、、。（その理由を示せば証明終わりです）

お礼

ご回答ありがとうございます。

εを取るだけでよかったんですね^^
連続の定義をε-δで初めに勉強したので任意の写像に対しても「解析的に逆算できるのでは。」と考えていました。