大学数学、位相、距離空間について

質問

次の問題が分かりません。
距離空間（X,d）の部分集合Fについて、次の条件(1)と(2)は同値であることを示せ。
(1)Fは閉集合である。
(2)Fの点列｛ｘ_n｝がｘ∈Xに収束するならばｘ∈F
位相が苦手でほとんどわからないので、分かる方よろしくお願いします。

回答No.1

fef · ベストアンサー

それを閉集合の定義とする流儀もありますが，
ここでは，閉集合とは「補集合が開集合であるもの」を指す，としておきますね．
この定義は補集合に関して述べているわけですから，補集合に注目して議論しましょう．

まず，(1)ならば(2)であることを示しましょうか．
背理法を用います．

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(1)が真であるとする．
このとき，F の補集合 G は開集合であるから，
G の各元 g に対し，ある正数 ε(g) が存在して
　d(p, g) ＜ ε(g)　⇒　p belongs to G.
したがって，いま F の点列 {x_n} が x ∈ X に収束するとすれば，
x ∈ F でなければならない．

実際，x ∈ G と仮定すると，先に述べたとおり，
　d(p, x) ＜ ε(x)　⇒　p belongs to G
が成り立つ．
また，点列 {x_n} の収束性から，
十分大きい n に対して d(x_n, x) ＜ ε(x)．
もとより x_n ∈ F であるが，加えて x_n ∈ G となり，矛盾する．

ゆえに，(1)ならば(2)である．
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次に，(2)から(1)を導きましょう．
対偶法を用います．

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F が閉集合でないとする．
このとき，F の補集合 G は開集合でないので，
ある g ∈ G が存在し，任意の正数 ε に対して
d(f, g) ＜ ε を満たすような f ∈ F が存在．
いま，
　d(x_1, g) ＜ 1,
　d(x_2, g) ＜ 1/2,
　d(x_3, g) ＜ 1/3,
　................
を満たすように x_1, x_2, x_3, ... を取り，Fの点列 {x_n} を構成しよう．
すると，{x_n} は明らかに g に収束する．
つまり，F の点列 {x_n} は x ∈ X に収束するが，x ∈ F でない．

対偶が示されたので，(2)ならば(1)である．
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以上から，(1)と(2)とが同値であることがわかります．

お礼

よく分かりました。ありがとうございました。