極限？微分？

質問

数学の問題です。
(1/2(1-x))・(ln((2-x)/x))が、 0＜x＜1の範囲において １以上になることの証明がわかりません。 宜しくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

冪級数を使って考えてみます。

　t=1-x と置きますと、与えられた式は次のように書き換えられます。

　　(与式)＝1/(2t) ln{(1+t)/(1-t)}, 0<t<1

　ここで、arctanh(t)=(1/2) ln{(1+t)/(1-t)} ですので与式は次のような簡単な表現に置き換えられます。

　　(与式)＝arctanh(t)/t, 0<t<1

　さて、arctanh(t)　をテイラー展開しますと、

　　arctanh(t)=Σ[n=0→∞] t^(2n+1)/(2n+1)

ですので、与式は

　　(与式)＝arctanh(t)/t=Σ[n=0→∞] t^(2n)/(2n+1) =1+t^2/3+t^4/5+t^6/7+・・・　>1 (0<t<1)

となり、与えられた範囲で常に1より大きいことが示されます。

回答No.4

Mr_Holland

ANo.1/2です。
＞なかなか高等な解法だったのですね・・・

　別に冪級数に展開するのが高等だというわけではありませんが。

　ANo.3さんのf'(x)には符号に誤記があるので注意してください。

＞f'(x)
＞=-(1/(2(1-x))ln(2/x-1)+1/(2(1-x))(-1/x^2)x/(2-x)
＞=-1/(2(1-x)^2)ln(2/x-1)-1/(2(1-x))x/(2-x)

f'(x)=+1/{2(1-x)^2}ln{(2-x)/x}-1/{x(1-x)(2-x)}

＞ln(2/x-1)　となっているのですが・・・・

　lnの中の　(2-x)/x =2/x-1 に変えただけですよ。

お礼

Mr_Hollandさん早速のお返事ありがとうございます。
内容了解いたしました。

＞lnの中の　(2-x)/x =2/x-1 に変えただけですよ
すみません。ぱっとみて、2/(x-1)と思ってしまいました。
OKXavierさん申し訳ないです。

回答No.3

OKXavier

高校生レベルでの普通のやり方です。

f(x)=1/(2(1-x))ln(2/x-1)
f'(x)
=-(1/(2(1-x))ln(2/x-1)+1/(2(1-x))(-1/x^2)x/(2-x)
=-1/(2(1-x)^2)ln(2/x-1)-1/(2(1-x))x/(2-x)
したがって、0<x<1　のときf'(x)<0

また、
lim[x→0]f(x)
=lim[x→0]1/(2(1-x))ln(2/x-1)
=lim[x→0]1/(x(2-x))
=+∞

lim[x→1]f(x)
=lim[x→1]1/(2(1-x))ln(2/x-1)
=lim[x→1]1/(x(2-x))
=1

したがって、0<x<1　において　f(x)>1

お礼

ありがとうございます。
わかりやすいです。
ただ、最初の式が
ln(2/x-1)
となっているのですが・・・・

回答No.2

Mr_Holland

ANo.1です。
　念のため、冪級数展開を使わない解法も記しておきます。

＞　　(与式)＝arctanh(t)/t, 0<t<1

　f(t)=arctanh(t)-t とおいて、0<t<1　における　f(t) の符号を調べます。

　　f(0)=arctanh(0)-0=0
　　f'(t)=1/(1-t^2)-1=t^2/(1-t^2) >0　(0<t<1)

　従って、f(t)は 0<t<1 で単調増加するので、

　　f(t)>f(0)=0　(0<t<1)

となって　f(t) は常に正です。　以上のことから

　　arctanh(t)-t>0　(0<t<1)
　∴arctanh(t)/t>1　(0<t<1)

となり、与式が与えられた範囲で常に1より大きいことが示されます。

お礼

ありがとうございます。
なかなか高等な解法だったのですね・・・