微分・極限

質問

Ｘ＞０の時、不等式　Ｘ－Ｘ＾２/２＜log（１+Ｘ）＜Ｘ
が成り立つことを示せと言う問題を教えてください。
分けて考えたらよいのですか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(1)x-(x^2)/2<log(1+x) (x>0)の証明
f(x)=log(1+x)-(x-(x^2)/2)　と置く。この関数がx>0でf(x)>0であることを示す。
f'(x)=1/(1+x)-1+x=x^2/(1+x)>0 (x>0)
f(0)=log1-0+0=0
x>0でf(x)は狭義の単調増加でf(0)=0であることから、x>0のときf(x)>0となる。

もう一つの不等式も同じ方針で解けます。