微分の問題がわかりません

質問

x>=0 である任意の実数xに対して、不等式 x^3 -3a^2x + 2 >= 0 が成り立つような
定数aの値の範囲を求めたいです。

　y = x^3 -3a^2x + 2 とおき、x>=0 の範囲での最小値を求めて、それが0以上になるという条件を
使えば解けるのかなと思ったのですが・・・。

　計算してみたら、x=a のとき、最小値は -2a^3+2 となり、これが0以上になるという式を解こうとしたら、
a^3-1 <= 0 となりました。

　お恥ずかしい限りですが、 a^3-1 <= 0 の解き方がわかりません。

　私の考え方はあっているのでしょうか？合っているとすれば、 a^3-1 <= 0 の解き方を
教えていただけないでしょうか？

　数学は苦手なので、易しい解説をしていただけると嬉しいです。

　よろしくお願いいたします。

回答No.3

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

>>　x≧0 。
>> (x^3)-3(a^2)x+ 2≧0　。
>>　f(x)=(x^3)-3(a^2)x+2 とおき、

　　　　f'(x)=3(x-a)(x+a)=0
　　　　　　x=a,-a

　　　　　場合わけ。

Ａ　a=0の時は、極小値をもたず、f(0)=2 なので、
　　　　　　（　　　f(0)=2　が　最小値です。）
　　　題意を満たしています。
　　　　　　　　　　（単調増加）→f(x)=(x^3)+2 ・・・。

　　　敢えて書くならば、　　　　a=0　・・・Ａ’

Ｂ　a＞0の時、x=a　で　極小値/最小値を持ち、

　　　>> 　f(a)=(a^3)-3(a^2)+2
　　　　　　　　=-2(a^3)+2

　　　>>　-2(a^3)+2≧0
　　　　　(a^3)-1≦0

　　　　　　この後は、

　　(a-1){(a^2)+a+1}≦0

　　　　　{(a^2)+a+1}が正であることは、
　　　　　判別式が負であることでも、
　　　　　平方完成
　　　　　・・・{(a+(1/2))^2}+(3/4)・・・
　　　　　でも判ると思うので、

　　　　　(a-1)≦0
　　　　　　　　a≦1　　　　
　　　　　　条件と合わせて、　0＜a≦1・・・Ｂ’

Ｃ　a＜0の時は、x=-a　で　極小値/最小値を持ち、

　　　f(-a)=-(a^3)+3(a^2)+2
　　　　　　=2(a^3)+2

　　　　　　　　　2(a^3)+2≧0
　　　　　　　　　　(a^3)+1≧0
　　　　　(a+1){(a^2)-a+1}≧0

　　　{(a^2)-a+1}が正であることは、
　　　　　判別式が負であることでも、平方完成
　　　　　・・・{(a-(1/2))^2}+(3/4)・・・でも。

　　　　　(a+1)≧0
　　　　　　　　a≧-1　　　　
　　　　　　条件と合わせて　-1≦a＜０・・・Ｃ’

　　Ａ’、Ｂ’、Ｃ’より　－１≦a≦１　となります。

説明の都合で冗長になりましたが、
答案ならば、もっと簡明で良いと思います。

お礼

大変ご丁寧な回答、ありがとうございます。

　順を追って読み進めていくことで、この問題がaの値による

場合分けの問題であることがよくわかりました。

　またa^3-1<=0 の解き方なども、判別式や平方完成などの方法がある

ことが分かり、勉強になりました。

　本当に、ありがとうございました！

回答No.2

Meowth

a^3-1 =0
を因数分解すれば、
(a-1)(a^2+a+1)=0
実数解だけが問題だから
(a^2+a+1＞０で
a=1
a^3-1 <= 0
は
a<=1
ちなみにこれはa>0
0<a<=1
が解
a<0 では、
x=-a で極小
a^3+1>=0
(a+1)(a^2-a+1)>=0
a>=-1
-1<=a<0
が解
a=0はどっちかに入れて。
-1<=a<=1

お礼

簡潔ですっきりした回答、ありがとうございます。

　要点をきっちりおさえることができました。

　実際に紙に書いてみて、答えが合って嬉しいです。

　ポイントを差し上げられなくて申し訳ありません。

　すごく素敵な回答を頂いたのに、とても残念です。

　本当に、ありがとうございました！

回答No.1

oyaoya65

＞x>=0 の範囲での最小値を求めて、それが0以上になるという条件を
使えば解けるのかなと思ったのですが・・・。
最小値はx=0（点(0,2)が変曲点）とx=|a|(ただし、a≠0,ここで極小値をとる)のyの値の小さい方です。

a≠0の場合
x=0でy=2>0ですからx=|a|での極小値2(1-|a|^3)をとりますから
2(1-|a|^3)≧0を満たすようにaの範囲を求めます。
|a|^3 -1≦0
(|a|-1)(|a|^2+|a|+1)≦0
|a|^2+|a|+1=[|a|+(1/2)}^2+(3/4)>0 だから
|a|-1≦0
∴|a|≦1
∴-1≦a≦1（a≠0）

a=0の場合、x≧0でy=x^3+2＞0ですから条件を満たします。
最終的な答は-1≦a≦1　となりますね。

＞私の考え方はあっているのでしょうか？
a＞0の場合しか考えていませんので不完全です。

なお、
＞a^3-1 <= 0 の解き方がわかりません。
左辺を因数分解すると
(a-1){(a^2)+a+1}<=0
(a^2)+a+1={a+(1/2)}^2 +(3/4)>0ですから
a-1<=0 → a<=1

お礼

丁寧なご回答、ありがとうございます。

　この問題が場合分けの問題であることを理解することができました。

＞　a＞0の場合しか考えていませんので不完全です。

　なるほど・・・と思いました。私は、場合分けということが頭に浮か
んでこなかったのでまずかったのですね。

　a^3-1 <= 0 の解き方も、理解することができました。これからは同じ問題が
でてきても悩まずに済みそうです。

　本当に、ありがとうございました。