極限

質問

はじめまして。現在数学の勉強をしているのですが独学なのでなかなかはかどりません。
初歩的な質問かもしれませんがお願いします。

次の関数に対し、極限を求めよ。

１、
f(x)=x4(４乗)-x、x→０のときの極限

０＜｜x－０｜＜δならば
｜f(x)ー０｜＝｜x4ーx｜≦｜x4｜-｜x｜＜δ4ーδ

δ≦１に対してδ4ーδ≦δーδ＝０

となりますよね？
また、この式の証明はどうすればいいのでしょうか？

２、
関数f(x)=｜x－１｜のx→０における極限とx→１における極限はどう求めたらよいのでしょうか？

お願いします。

回答No.2

Tacosan

2 の方:
まず絶対値を外して考えます.
x→0 は問題ないので素直にいきます.
x→1 はちょうど (絶対値を外して現れる) 2つの関数の境界なので, x→1+0 と x→1-0 の両方を計算します. で, 両方が一致すれば極限は存在するし, 一致しなければ極限も存在しない.

お礼

なるほど。。勉強になりました！
ありがとうございました。

回答No.1

ujitaka

ε-δ論法を使うと以下のようです。
任意のε＞0に対して、０＜｜x－０｜＜δ、
　　　ここでδ＝1とε／2の小さいほうと式変形の都合上設定します。
すると、｜x4ーx｜≦｜ｘ(ｘ3－1)｜≦δ｜δ3－1｜
　ここで、δは1よりも小さくとったので｜δ3－1｜≦２
δ｜δ3－1｜≦2δ＜ε

お礼

そうすればよかったんですね！
ありがとうございました！