定積分の極限

質問

A = e^(-x^2)×∫(x,x+ln(x)/2x) e^(t^2)dt
としたとき、
lim (x→∞)　A

を求めろという問題があるんですが完全に行き詰ってしまいました。右のe^(t^2)の積分ができれば定積分なので自分でもできそうなのですが、できません。どなたか教えてください。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

lim A = 1/2 となります．

t = x + s と変数変換し，積分の外の exp(-x^2) を中に入れると
　A = ∫(0, log(x)/2x) exp(s^2) exp(2sx) ds
となります．この積分を上下から評価します．

被積分関数の exp(s^2) 以外の部分を
　I = ∫(0, log(x)/2x) exp(2sx) ds = (x-1)/2x
と計算しておきます．
次に，exp(s^2) は単調増加関数なので
積分範囲の上下で不等式評価できて，
　I ≦ A ≦ exp((ln(x)/2x)^2) I
を得ます．

これで x → ∞ すれば，1/2 ≦ lim A ≦ 1/2 となって
lim A = 1/2 が証明されます．

以下コメント：
＃exp(t^2) の積分を実行するのは，得策ではありません．
＃この積分は初等関数で表せないため，実行したところで綺麗に極限計算はできません．
＃
＃この手の問題の基本方針は，極限を取りやすい関数で上下を挟んでやり，
＃両辺の極限を取って目的の関数の極限を得ることです．