極限を使った証明

質問

nが正の整数のとき、

lim {x(ln(x))^n} = 0
x→0+

を証明しようとしているいるんですができません。
ln(x)^nがある定数（仮にL）に近づくことを証明すれば、
いいと思うのですが、具体的にどうするのか分かりません。
どなたか分かりやすく教えてください。

回答No.2

Tacosan

基本的に本質は全て同じで,
「y = -ln x とおくと x→+0 で y→+∞」であることから
lim(x→+0) x (ln x)^n = lim(y→+∞) (-y)^n/e^y
として, y^n/e^y→0 (as y→+∞) を示せば OK.
これを示す方法はいくつかあるんだけど, その例を挙げただけです.
なお, マクローリン展開を使うと y > 0 で e^y > y^(n+1)/(n+1)! と言えますね.

回答No.1

Tacosan

x → +0 で ln x → -∞ だからそれは無理.
ところで, lim (x → +∞) x / e^x = 0 は使っていい?
もしくは, e^x のマクローリン展開は使っていい?
はたまた, ロピタルは使える?

補足

はい、どれも使えます。e^xのマクローリン展開ってx^k/k!の総和のやつですよね？どう使うんでしょうか？