極限の証明を教えてください！！

質問

大学に入り、数学の授業をとっているのですが、どうしても数学が苦手で授業についていけません。そこでこの問題の証明のしかたがよくわからなかったのでどうか教えてください。
[０、∞）上の関数f(x)が非減少かつ有界ならば、limf(x) （limの下はx→∞）が存在することを証明せよ。（ただし、非減少とはx＜y→f(x)＜f(y)）有界とは、M＞０が存在して　絶対値のf(x)≦M（すべてのｘ）
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

zk43

f(x)が有界ならば上にも有界（f(x)≦M）である。
f(x)の上限supf(x)をmと書く。任意のx>0に対してf(x)≦mである。
上限の性質として、mよりも少しでも小さい数m-εに対しては
f(x)>m-εとなるxが存在する、すなわちm-εはすべてのxに対してf(x)
を上から押えることができない。つまり、mはf(x)を上から押える数
の中の最小値である。
このことから、任意のε>0に対して、m-ε<f(R)≦mを満たすR>0があ
り、f(x)は非減少なので、x>Rならばf(x)>f(R)であるから、x>Rなら
ば、m-ε<f(R)<f(x)≦mである。よって、limf(x)=mである。
つまり、どんなε>0をとっても、xを大きくすれば、f(x)はすべて
m-εとmの間に入るということです。
上の議論の前提として、ε-δ論法、実数のデデキントの切断の知識は
必要です。微分積分で一番最初にでてくるものです。