y = ax を微分

質問

y = ax を微分せよ、という問題です。
途中計算がわからなくて困っています。
y = ax → ln y = ln ax 　→　 ln y = x ln a　　→ 1/y dy/dx = ln a　　と続くのですが、

x ln a　を微分したら　　ln a　　になるのが分かりません。
y= A lnx , dy/dx = A/x　　と決まっているので　 x ln a　　→ 　　x/a　になると考えます。
x ln a　が　ln a　になるのなら　y= A lnx , dy/dx = A ln になってしまうのでは？

何故　x ln a　を微分したら　　ln a　になるのか説明して頂けませんか？

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

x・ln(a)
をxで微分するとき、ですか？
ln(a)
はxにかかっている係数です。
だから、
x・ln(a)
という、xに関する1次関数をxで微分すると、
となります。

3x
という、xに関する1次関数を
x
で微分すると
3
になるのと同じ理屈です。

お礼

asuncion　さん、丁寧に説明して下さり有難うございました。

ln(a)はxにかかっている係数と考える事が私には理解するのが難かしいです。　今までそうやって考えなかったのでここにきて何故そう考えるのかが理解出来ないです。

>x・ln(a) をxで微分するとき、ですか？

はい、dy/dx　がストレートに出せないのでまずxで微分する事から始めます。

＞ln(a)はxにかかっている係数です。

これはxで微分するからそう考えるのですか？

例えばこれが　y = x・ln(a) を微分する場合は　dy/dx = x/a　になる、と考えていいのでしょうか？

全く関係ない事を考えていたらすみません、もしお時間あれば説明して頂ければ助かります。

補足

すみません～～～　問題は　y = a＾x です。　　自分のノートに書いた時は小さい　ｘ　を使えたのですがこちらにそれをそのままコピー＆ペーストしたら　ｘ　が普通サイズのになってしまっていました。
それに気付かずそのまま載せてしまいました、御免なさい。

２回目のご回答有難うございます。
書いて下さった事、今からじっくり見てみます。
すみませんでした！

回答No.5

toshih2000

a が定数ならば、ln a も定数です。 xの関数ではありません。

b = ln a と、置くとすれば

y = bx を x で微分するのと同じになります。

y = x ln a が分かりにくければ

y = (ln a)x としたらどうでしょう?

多分、ちょっとした思い込みが理解の邪魔をしているのだと思います。

お礼

ご回答有難うございます。

正直まだ１００％　理解してはいないのですが、

＞a が定数ならば、ln a も定数です。 xの関数ではありません。

これはわかりやすいです。　私にはとても為になります。

きちんと理解して柔軟に対応出来る様になりたいものです。
ご回答、温かいお言葉有難うございました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

まあ普通なら

y=a^x ⇒ y = e^(ln(a^x)) ⇒ y = e^((ln a)x)

と公式をあてはめやすくしておいて、　e^x の微分公式と合成関数の微分公式で

dy/dx = (ln a)e^((ln a)x) = (ln a)a^x

別解として, y, a>0 を仮定してもよいので

ln y = x ln a ⇒ (1/y)(dy/dx)= ln a ⇒ (dy/dx) = y ln a = (ln a)a^x

以上、a が定数の場合です。

一応書いておきますが、ここで y　は従属変数(xの関数)で x が独立変数、aが定数と仮定すると

微分は d(定数）/dx = 0 です。d(ln a)/dx=0 d(a)/dx=0

y も ln y も x の関数だから ln y の微分係数は d(ln y)/dx = (1/y)(dy/dx) になります。

微分というのは x の変化に対する対象の変化の割合。x に無関係で変化しないものの
微分係数は常に0です。形ばかり追わず、中身を理解しましょう。

お礼

再度のご回答有難うございます。　とても詳しく説明して頂き有りがたいです。
が、説明して頂いた事を理解するのに難儀しているところです。
おっしゃる様に中身をきちんと理解していないからですね。

今まで沢山の方に回答して頂いた事は後になっても何度も見ては参考にしています。
以前のを見て「あ～こんなのが分からなかったのか～」と思う事もあります。
今回書いて頂いた内容も「何だ、こんなのがわからなかったのか」となりたいもんです。

貴重なお時間を本当に有難うございました。又何かありましたら宜しくお願い致します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>y = ax → ln y = ln ax 　→　 ln y = x ln a　

微分以前に式変形がおかしい。
xがlnの前にいつのまにか出てるけど
そんなことはできません。

それと

ln a は aが定数なら定数として扱ってよい。
aが定数でないなら話は別。

そこをまずはっきりさせましょう。

お礼

すみません～～～　問題は　y = a＾x です。　　自分のノートに書いた時は小さい　ｘ　を使えたのですがこちらにそれをそのままコピー＆ペーストしたら　ｘ　が普通サイズのになってしまっていました。
それに気付かずそのまま載せてしまいました、御免なさい。

回答No.2

asuncion

x・ln(a)

ln(a)
という、xに無関係な係数の書き方がややこしいので、
思い切って
ln(a) = t
とおいてしまう。

与式
= xt

これをxで微分すると
t

t
を元に戻して
ln(a)

お礼

asuncion　さん 私のレベルで分かり易く教えて下さって有難うございます。
親身に教えて下さってるので質問を間違えて悔やまれます。
有難うございました！