全射準同型

質問

対称群の元にその符号を対応させる写像は、対称群S_nから位数２の巡回群｛±１｝への全射準同型であることを示せ。なんですが、わかりません。教えてください。

回答No.1

Nandayer · ベストアンサー

群の演算（以下、「積」といいます）は、 S_n 上では置換の合成、｛±１｝上では整数の乗法で定義されていることと思います。
　さて、S_n から、｛±１｝ への写像 σ を置換の符号で定義します。
　つまり、 S_n の元τが
　　　偶置換ならば　σ(τ) = ＋１
　　　奇置換ならば　σ(τ) = －１
と定めます。
　すると、 σ は S_n の積を｛±１｝の積に写します。つまり、積を・で表して、
　　　σ (ξ・τ) = σ (ξ)・σ (τ) 　　　（＃）
ですから、群の準同型写像です。
　また、 S_n には偶置換も奇置換も存在しますから、上への写像です。

　（＃）を示すためには、
　　　　偶置換と偶置換の合成が偶置換
　　　　偶置換と奇置換の合成が奇置換
　　　　奇置換と偶置換の合成が奇置換
　　　　奇置換と奇置換の合成が偶置換
であることを言えばよいと思います。行列式の定義のところで置換が出てきたと思いますので、必要があれば線型代数の本にあたってみてください。

お礼

ありがとうございましたm(__)m