代数学の問題です。

質問

教科書などで調べたりしたんですが
なかなか解けなくて困っています。

問
全ての元の位数が２以下である群は、
アーベル群であることを示せ。

詳しく教えてほしいです
お願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

＞ ただ全て元の位数が２以下というのは
＞ どういう事かよくわかりません。

どの元の位数も２または１だという意味だけど？
２も１も、どちらも２の約数だから、
全ての元 x について xx が単位元になる。

位数１の元は単位元だから、それ以外の全ての元 x は
x^-1 = x であるけれど、そういった背景の理解は、
とりあえず ab = ba を示す作業には結びつかない
ように思う。

お礼

今どういう事かが理解できました。
しっかり復習してきます。
もう少しで完全に理解できると思うので
後は、自分でやってみます。
本当にありがとうございました。

回答No.6

tmpname

> 元の位数が２　つまり元x^2 = e ならばアーベル群と
> いうのは、わかります。
私にはこの意味が分かりませんが....

また「具体例を」とおっしゃいますが、何の具体例の
事でしょう。「全ての元の位数が２以下である群」の
具体例ならクラインの四元群とかがありますが、
それを知った所でどうなるわけでもないでしょう。

そもそも問題の意味が理解出来ていないようなので、
もう一度群や元の位数、可換群といった
概念を復習してから再度取り組んだほうが
いいと思います。

お礼

わかりました。
再度勉強してみます。
ありがとうございました。

回答No.4

tmpname

> まずここでの位数の意味は、元の個数ではなく
> n乗してeとなる最小のnのことですか？
「元の」位数と書いているのだからそうです
（「元の個数」というのは「群の」位数でしょ）。

そこで、群Gの「任意の元の位数が2以下」である時、
Gは「Abel群である」ことを証明せよ、というのを、
もう少し記号とかを使って具体的に書き表すと
どうなりますか？
（まずは問題の意味が分かってないと回答を書いても
　どうにもならないので）

お礼

分からないのは、全ての元の位数が２以下
というのがあまりよくわかりません。

アーベル群は、交換則を調べればいいというのは、わかります。
元の位数が２　つまり元x^2 = e ならばアーベル群というのは、わかります。

ただ全て元の位数が２以下というのは
どういう事かよくわかりません。

イメージがわかないので
具体例をあげてもらうことができませんか？

あまり伝わっていないと思いますが
申し訳ございません。

回答No.3

alice_44

abbaba の値を計算してみれば？

回答No.2

tmpname

取り敢えず、問題から使える条件と、証明するべき
式を書くとどうなるでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
なかなかイメージが出来ないのですが
具体例をあげてもらうことはでしょうか？

回答No.1

Tacosan

どこまでわかっているのでしょうか?
どこで困っているのでしょうか?

お礼

まだまだ勉強したてなのですが
まずここでの位数の意味は、元の個数ではなく
n乗してeとなる最小のnのことですか？