次の代数系の部分代数系をすべて示せ。という問題。

質問

次の代数系の部分代数系をすべて示せ。各部分代数系に単位元が存在すればそれを示せ。という問題なのですが、解答と解説を詳しく教えてください。

(1) (Z6;・) Z6={0,1,2,3,4,5}、・は、６による剰余積。

(2) (Z12;+) Z12={0,1,2,…,11}、＋は、12による剰余和。

回答No.4

jmh · ベストアンサー

Ｚ６の部分集合をすべて列挙しました。Ｚ１２はたくさんあるので無理でした。
｛｝，｛５｝，｛４｝，｛４，５｝，｛３｝，｛３，５｝，｛３，４｝，｛３，４，５｝，｛２｝，｛２，５｝，｛２，４｝，｛２，４，５｝，｛２，３｝，｛２，３，５｝，｛２，３，４｝，｛２，３，４，５｝，｛１｝，｛１，５｝，｛１，４｝，｛１，４，５｝，｛１，３｝，｛１，３，５｝，｛１，３，４｝，｛１，３，４，５｝，｛１，２｝，｛１，２，５｝，｛１，２，４｝，｛１，２，４，５｝，｛１，２，３｝，｛１，２，３，５｝，｛１，２，３，４｝，｛１，２，３，４，５｝，｛０｝，｛０，５｝，｛０，４｝，｛０，４，５｝，｛０，３｝，｛０，３，５｝，｛０，３，４｝，｛０，３，４，５｝，｛０，２｝，｛０，２，５｝，｛０，２，４｝，｛０，２，４，５｝，｛０，２，３｝，｛０，２，３，５｝，｛０，２，３，４｝，｛０，２，３，４，５｝，｛０，１｝，｛０，１，５｝，｛０，１，４｝，｛０，１，４，５｝，｛０，１，３｝，｛０，１，３，５｝，｛０，１，３，４｝，｛０，１，３，４，５｝，｛０，１，２｝，｛０，１，２，５｝，｛０，１，２，４｝，｛０，１，２，４，５｝，｛０，１，２，３｝，｛０，１，２，３，５｝，｛０，１，２，３，４｝，｛０，１，２，３，４，５｝

回答No.5

alice_44

普通「代数」って言ったら、ひとつの集合の上に、加法を共有する加群と環が定義されて、
環の乗法が加群において双線型になってるようなモノのことを指すんだがな。
この質問において「代数系」が、単に集合が演算閉であることを指すと言うのなら、
それはそれでよしとして…

ある数 a が (Z12;+) の部分代数系 S に属するとすれば、
2a = a + a ∈ S, 3a = 2a + a ∈ S, 4a = 3a + a ∈ S, …。
結局、a の倍数は全て S に属することになる。

二数 a, b が S に属するとすれば、Z におけるベズーの定理により、
a x + b y = (a, b の最大公約数) となる整数 x, y が存在するから、
S の元は、あるひとつの元(S の全ての元の最大公約数)の倍数である。

0 の倍数 … { 0 },
1 の倍数 … Z12,
2 の倍数 … { 0, 2, 4, 6, 8, 10 },
3 の倍数 … { 0, 3, 6, 9 },
4 の倍数 … { 0, 4, 8 },
5 の倍数 … Z12,
6 の倍数 … { 0, 6 },
7 の倍数 … Z12,
8 の倍数 … { 0, 4, 8 },
9 の倍数 … { 0, 3, 6, 9 },
10 の倍数 … { 0, 2, 4, 6, 8, 10 },
11 の倍数 … Z12.

以上が、(重複もあるが)演算閉な部分集合の全て。

回答No.3

alice_44

←No.1 補足
依然として「代数系」の定義が先送り。
演算閉でありさえすればいいの？
加法群の「部分代数」が単位元を含まなくても
いいのか？とか、そこんとこ次第だけれども。

回答No.2

jmh

部分集合をすべて列挙して調べてはいけないの？

補足

部分集合の列挙のしかたを教えていただけませんか？

回答No.1

alice_44

とりあえず、「部分代数系」という用語の正確な定義が必要。
書いてみ。

補足

代数系(A;*)があって、Ａの部分集合Ｂ⊂Ａが演算＊に関して閉じているとき、つまり、（Ｂ；＊）が代数系をなしているとき、代数系Ｂを代数系Ａの部分代数系という。