積分の問題が分からないで困ってます。

質問

積分の問題が分からないで困ってます。
さっき質問を作ったのですが、教えてgooのシステムを勘違いしていて、作り直しました＾＾；
ベストアンサーを選ぶと締め切られてしまうのですね＾＾；

∫1/{x√(x^2+2x-1)dx}
これの積分が分かりません。
どなたか教えてくださいｍ（_ _）ｍ

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

被積分の定義域は
x<-√2-1 または x>√2-1

x+1=uとu=√2/cos(t)の2回置換を行って積分すると以下のようになります。

I=∫1/{x√(x^2+2x-1)}dx
=arctan((x-1)/√(x^2+2x-1))+C (x<-√2-1,x<√2-1)

これは以下のようにも書けますが絶対値を使わない場合は
x>0,x<0（正確には正負の定義域）で場合わけしないといけません。

I=arcsin((x-1)/(|x|√2))+C (x<-√2-1,x<√2-1)
これは絶対値をはずせば次のようにも表せます。
I=arcsin((x-1)/(x√2))+C (x>√2-1のとき)
I=-arcsin((x-1)/(x√2))+C (x<-1-√2のとき)
（注）I=±arcsin((x-1)/(x√2))+Cと書くのは適切ではありません。

参考までに被積分関数(水色のグラフ)と積分結果のグラフ(黒色のグラフ,積分定数C=0としてプロット）を添付します。

なお、詳細な積分の計算過程は参考URLで「Show steps」をクリックすれば表示されます。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(1%2F(x*sqrt(x^2%2B2*x-1))%2Cx)

お礼

ありがとうございます＾＾

回答No.1

Mr_Holland

変数変換を2回してください。
　　t=1/x, t-1=√2sinθ

　そうすると　±arcsin{(x-1)/(√2x)}　と得られると思います。

お礼

ありがとうございます＾＾