漸近線を求める問題で・・・。

質問

漸近線を求める問題で・・・。

関数f(x)=√（x^2-2x+2)のグラフの漸近線を求めよという問題で、

解説の一番初めに

根号内の符号を調べるとそれが正なので
f(x)は全ての実数について連続であるから、
x軸に垂直な漸近線はない。

と言うことが書いてありました。

どうして根号内の符号が正だと
f(x)は全ての実数について連続であるといえるのかがわかりません。
他の参考書の類題も見ましたが、
このくだりについては書かれていませんでした・・。

この後の漸近線を求めるところは問題なく解答できました。

また、ここで躓いた場合
どの分野のどういう問題に戻って勉強すればよろしいでしょうか。

回答宜しくお願いいたします

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞どうして根号内の符号が正だと
＞f(x)は全ての実数について連続であるといえるのかがわかりません。
y＝ √xというグラフを考えると、x＜ 0となる範囲ではグラフを描くことができません。
ところが、いまの問題では√の中が常に正となるので、グラフが途中で消えたり、切れたりしません。
これを数学の用語でいえば、「連続である」ということになります。

＞また、ここで躓いた場合
＞どの分野のどういう問題に戻って勉強すればよろしいでしょうか。
漸近線は、極限の考え方に近いのですが、また少し違います。
少し大雑把な見方をするのがコツなのですが・・・

たとえば、上の f(x)であれば
f(x)＝ √((x-1)^2+ 1)＝ (x-1)*√( 1+ 1/(x-1)^2 )

と変形して、x→∞としたときを考えます。
・√の値はどんどん 1に近づきます。
・ここで全体を見ると、値がほとんど x-1に等しくなることが見えてくると思います。
よって、漸近線は y＝ x-1である。ということになります。

操作は極限と同じなのですが、最後に値ではなく関数をとるところが違っています。
一言でいえば、「関数の力（影響力）くらべ」ということになるのですが。＾＾；

過去にあった、同様の質問の URLをつけておきます。
他にも何度か出ていると思うので、検索してみてください。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5206771.html

お礼

わかりやすい回答をありがとうございました！

すっきり納得できました。
自分は「連続」を必要以上にむずかしく考えていたみたいです。
この場合ｘが実数なら必ず正になるからグラフはつながっているということなんですね。

いつもグラフを想像しながら解いていたので、
微分して増減調べてetc...という
すぐに想像できない関数のグラフになると手が止まってしまいましたが
これからはなんとかなりそうです。

関数の極限あたりを復習してみます！

回答No.2

Kules

混合内の符号が常に正ということはxは全ての実数を取ることができ、
（もし混合内が負になるようなxがあるなら、そのxはとることができません）
f(x)は全ての実数xにおいて定義できしかも全てのxにおいてf(x)>0です。
ということは、x軸に垂直な直線を引いた時その直線とf(x)は交点を持ちます。
漸近線というのは誤解を恐れずに言えば「どんどん近づいて行くけど、交わることはない線」のことなので、交点をもってしまう時点で漸近線にはなりえません。

こんな感じでどうですかね？
参考になれば幸いです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました！

理解できました。
連続と言う言葉が出てきたので、よく教科書に載っている
lim(x→a)f(x)=f(a)を書かないといけないのかと思っていましたが
模範解答にはずいぶん簡潔に書いてあったので混乱してしまいました。
そういうことだったんですね！

回答No.1

fukuda-h

数IIIの範囲ですね。漸近線は「直線」という感覚が大切ですね。
直線ならばy=mx+nとx=tの二つに分けて考えるのが高校数学の基本でしょう。
だからこの問題でまず漸近線はx=tで表わせる直線なのかを検討したんでしょうね。
経験的には、漸近線はＸの値を十分大きくするとどうなるか？？
Ｘ→∞、－∞を考えて近似する感覚ですね。Ｘ→∞のとき√（x^2-2x+2)≒√（x^2）≒Ｘ
つまりｙ＝ｘなどでだいたいわかるのが漸近線なんです。

お礼

迅速な回答ありがとうございました！

＞直線ならばy=mx+nとx=tの二つに分けて考える

ということが頭にありませんでした
これから気をつけます！