漸近線の求めかた？？

質問

y=x+1+1/(x-1)のグラフを描く問題なんですが、増減表（添付図）を書いた後教科書では次のように漸近線を求めています。

lim[x]→1+0]y=∞, lim[x→1-0]y= ー∞であるからx=1はこの曲線の漸近線である。
さらに
lim[x→∞]{y-(x+1)}=0
lim[x→-∞]{y-(x+1)}=0
だからy=x+1もこの曲線の漸近線である。

[質問１]　どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか？双曲線であると分かった上での判断ですか？

[質問２]　漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように
リミットの中の式をlim[x→∞]{y-(x+1)}=0　という形にしているのでしょうか？
（これで確かにy=x+1は漸近線ということがわかりますけど・・）

漸近線を求める上での考え方がよくわかりません。意味不明な箇所があるかもしれませんが、教えてください。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> [質問１]　どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか？双曲線であると分かった上での判断ですか？

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y　=　x　+　1　+　1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問２]　漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y　=　x　+　1　+　1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特に、右辺のそれぞれの項がどうなるかを考えると良いです。

x がどんどん大きくなると、x　+　1　+　1/(x-1)の中の3つの項のうち、
1/(x - 1)だけは0に収束して消えていってしまいませんか？
そうなると残るのはxと+1の項だけになります。
なのでy　=　x　+　1　+　1/(x-1)は、xがどんどん大きくなると
y = x + 1に近づくと考える事ができます。

y = (2x^2 + 5) / (x + 2)のような形の関数だと、
そのままではこのような考え方ができません。
この場合は割り算をして
y = 2x - 4 + (13/(x + 2))と変形してやると、
同じように考える事ができます。

他にも例えば、y = 2x + 3 + 2^xはx → -∞の時、
y = 2x + 3に漸近します(x → +∞では漸近しません)。
後は「漸近放物線」みたいのも考えられます。
例えばy = x^2 + 2x + (1/x)は、x → ＋∞とx → -∞の時、
放物線y = x^2 + 2xに漸近します。

回答No.3

alice_44

質問文中にもあるように、
y 軸に平行な漸近線と、そうでない漸近線は、見つけかたが違います。

y 軸に平行なものは、lim[x→a+0] dy/dx または lim[x→a-0] dy/dx
のどちらかが +∞ または -∞ に発散すれば、x = a が漸近線です。

y 軸に平行でないものは、lim[x→+∞] dy/dx または lim[x→-∞] dy/dx
が収束するときのみ、存在する可能性があります。
lim[x→+∞] dy/dx = a の場合、lim[x→+∞] y-ax = b が収束すれば
y = ax + b が漸近線です。
lim[x→-∞] dy/dx が収束する場合も、同様。

この探し方を見れば解るように、増減表だけから漸近線を発見する
ことはできません。
グラフの概形を描くとき、漸近線があれば見つ出す必要がありますから、
「ないかな？」ということは、いつも気にかけておいたほうがよいです。

グラフの端のほうはどうなっているか？を想像すれば、
自然と lim[x→±∞] dy/dx は考えることになるはずです。

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが、ちょっと加筆です。

> x がどんどん大きくなると、x　+　1　+　1/(x-1)の中の3つの項のうち、
> 1/(x - 1)だけは0に収束して消えていってしまいませんか？
> そうなると残るのはxと+1の項だけになります。
> なのでy　=　x　+　1　+　1/(x-1)は、xがどんどん大きくなると
> y = x + 1に近づくと考える事ができます。

この部分はx → +∞の場合について考えています。
これとは別に、x → -∞の場合も考える必要があります
(ただ、今回の問題に関しては、x → +∞の場合とほとんど一緒です)。

あと、この部分に関しては要点がまとまってない気がするので付け足しておきます。
結局のところ、漸近線を考える時は、関数の式の中にある項が
「0に収束する項」なのか「0に収束しない項」なのかを考えればよいんです。