関数の大学入試問題

質問

正の実数a,bに対して、以下の条件を満たす関数f(x)が存在することを証明せよ。
　fは0<=x<=aにおける連続な実数値関数で,f(0)=b,f(a)=0を満たす。
　0<=x_1<x_2<=aなる全てのxに対してf(x_1)>f(x_2)である。
　y=f(x)のグラフとx軸、x軸とで囲まれる部分を、x軸のまわりに回転して得られる立体の体積V_xと、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積V_yとは等しい。

…という問題なのですが、条件の三番目から
π∫f^2dx=2π∫xfdx
を得たところで手が止まり、どうしようもありません。
助けてください。よろしくお願いします。

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

なかなか面白い問題ですね。仕組みに気づけばあっという間に終わります。
a=bだったら、f(x)=-x+a でＯＫてのは明らかですから、a>bとしてみましょう。（b>aの場合は、xとyを入れ替えれば同じことです）
とりあえず、（単調減少っていう条件には合いませんが）、
f1(x)=b （一定）　…（☆）
ていう関数を考えてみると、
V_y-V_x = πa^2b - πab^2 > 0
になるのは明らかです。
で、この f1(x) からスタートして、f(x)の形を連続的にちょとずつ変化させていったら、どっかで、V_y-V_x<0 になったとします。とすれば、f(x) をちょっとずつ変化させていったんですから、その途中のどっかで、ちょうどV_y-V_x=0 にるようなf(x)があったはずです。（中間値の定理ですね。）
というわけで、V_y-V_x<0になるようなf(x)をとにかくなんでもいいので見つけましょう。

例えば、（これも条件に合いませんが）
f2(x)=b　（x≦b/2のとき）
f2(x)=0　（b/2≦x≦aのとき）
ていう関数を考えれば、
V_y-V_x = πb^3/4 - πb^3/2 < 0
になるのが明らかです。

あとは、上で示した２つのf(x)の間を連続的につなげる（補間する）ような関数を考えればいいです。（条件に合うようにしながら）

例えば、
f(0) = b
f(α) = b-β
f(α+γ) = β
f(a) = 0
ていう４点を折れ線で結ぶような関数を考えてみます。
ただし、0<α<a，0<β<b，0<γ<b
これが連続でかつx,y切片と単調減少の条件を満たすことは明らかです。
ここで、α→a-0，β→+0，γ→+0 の極限を考えればf(x)はf1(x)になりますから、V_y-V_x = πa^2b - πab^2 > 0 に収束します。
一方で、α→b/2，β→+0，γ→+0 の極限を考えればf(x)はf2(x)になりますから、V_y-V_x = πb^3/4 - πb^3/2 < 0 に収束します。
V_y-V_x は、明らかに、α，β，γに関して連続ですから、中間値の定理より、ちょうどV_y-V_x=0となるような、α，β，γの組が存在します。つまり、題意を満たすf(x)が存在することが言えました。

※f(x)の形として、ここでは一番簡単な折れ線関数を考えてみましたが、実は、＃１さんの f(x) = b(1-x/a)^α てやつでも、実際に積分を計算すれば、α→+0でV_y-V_x>0，α→+∞でV_x-V_y>0になるはずなので（多分、もしかしたら違うかも）、中間値の定理からV_y-V_x=0になるαが存在する、て言えるはずです。

お礼

とてもよく分かりましたし、非常に面白かったです!!
素敵な解答ありがとうございました。

ちなみに、＃1さんのやり方だと、2b<aのときうまくいかない、という結論に至ってしまいました。計算間違えでしょうかね?

回答No.3

age_momo

問題には連続とは書いてあるようですが、微分可能とは書いていません。
(正しいでしょうか？）
また、そのような関数を求めろとは書いていません。
あることを証明するだけです。

なので例えば、

正の実数c　(0<c<2) があって　a > b ならば

y=-cx+b (0≦x≦b/2)
y=b(2-c)/(2a-b)*(a-x) (b/2<x≦a)

という関数を考えると
c=b/a の時、(この時は全体が直線y=b(1-x/a)になります）

V_x/V_y=a^2/b^2>1

また、cが限りなく2に近づくと

V_x/V_y=0.25　< 1

になります。よってb/a < c < 2のどこかに題意を満たすcがあることに
なります。これをきちんと書けばよいのではないでしょうか。
(V(c)=V_x/V_yとしてV(c)が0<c<2の範囲で連続であることも
書いておく必要があると思います)

もっと計算が簡単な関数があるかもしれませんが、ぱっと見、
思いついたのが上の関数でした。。。

回答No.2

vaio-user

3番目の条件からは、
0 -> a の範囲で yの2乗 をxで定積分した値と、
0 -> b の範囲で xの2乗 をyで定積分した値が等しい
という方程式が成り立ちます。
(ご質問の式の意味がいまいち理解できませんでしたが、上記と等価でしょうか？）

その上で、単調減少条件f'(x)＜0と、x及びy切片の実数条件が成り立つ関数があることを証明するのかな？？

補足

等価です。その通りです。お願いします。

回答No.1

koko_u_

何か f(x) が見付かれば良いのだから、勝手に f(x) = b(1-x/a)^α (α > 0) のように置いてしまって、「適当なα」を求める方針でどうだろう。

計算してないから、「適当なα」があるとは限らない。
ダメなら他のそれっぽい関数を更に考える。