漸近線と導関数

質問

こんばんは。高校数学について質問があります。

f(x)={x-√(x^2-1)}という関数は、f'(x)=-1/√(x^2-1)となります。
ここでx→∞とすると、f(x)→-∞、f'(x)→0となります。

ここで疑問なのですが、f'(x)が0に近づくときは漸近線をもつのではないのでしょうか？
導関数が0に近づくということは、傾きがだんだん穏やかになっていって無限大のかなたではx軸と平行になってしまうので、超えられない直線、すなわち漸近線が存在するのだと思っていたのですが、この認識は間違っているのでしょうか。。。

導関数が0に近づき、漸近線が存在する関数の例：f(x)=1/x,2^(-x)など。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

イメージとしてはそんなところです. 関数 f(x) の x→∞ における極限
lim(x→∞) f(x)
が定数ならその導関数の x→∞ における極限は 0 になりますが, 逆は必ずしも成り立ちません.

同じように, 数列 {a_n} の和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n の n→∞ の極限 S_∞ を考えると, S_∞ が有限の値であれば a_n の n→∞ の極限は 0 になりますが, 逆に a_n の n→∞ の極限が 0 だからといって S_∞ が有限であるとは限りません.

お礼

なるほど、数列の極限と同じように考えればいいわけですね！
とてもよくわかりました。ありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

りょ～かいっす.

本質的には 0×∞ という不定形の話になると思います. 逆方向で考えると
関数 f(x) が 0→∞ で 0 になるときにその原始関数の x→∞ における値はどうなるか
ということと同じで, これは定積分で考えると
0 に近い値をひじょうにたくさん加えたらどうなるか
ということになります.

まあ, そこまで難しい関数を持ち出すまでもなく f(x) = √x でよかったような気はしますが....

お礼

なるほど！つまり不定形だから、その名の通り極限がどうなるかはわからない、ということでいいでしょうか？？

回答No.2

Tacosan

えぇと.... f(x)={x-√(x^2-1)} のどこに対数があるんでしょうか....

お礼

すみません！質問文に誤りがありました！！
f(x)=log{x-√(x^2-1)}
でした。

今までのf(x)はすべてこれに置きかえてください。申し訳ありませんm(__)m

回答No.1

Tacosan

f(x)→-∞ って, 本当?

まあ「f'(x) が 0 に近づく」からといって, 必ずしも漸近線を持つわけじゃないが....

お礼

回答有難うございます。
x-√(x^2-1)　はxを無限大に持っていくと0に近づいていくのでこれの対数は無限大へいくと思うのですが・・・。
パソコンのソフトで極限を計算してみてもやはり-∞になりましたが、どこか見過ごしていることがあるのでしょうか？？（汗）