漸近線の求め方

質問

題名の通りですが、漸近線の求め方の公式について質問です。
漸近線にはy軸に平行かどうかによって２タイプあると思いますが、y軸に平行でない漸近線y=mx+nの求め方について質問です。

説明には
ｙ=mx+nが曲線y=f(x)の漸近線になるための条件は本来
Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0またはLim(x→-∞){f(x)-(mx+n)}=0であるが、※
mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、これとlim(x→±∞)n/x=0より
m=lim(x→±∞)f(x)/xであるといえる。

私は※までは理解できます。でも三行目以降の
「mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、」
の意味がわかりません。前の式をｘで割っているようですが、どうしてｘで割っているんでしょうか？

いつもは、関数を割って、漸近線を求めていたのですが、上の方法の漸近線の求め方もマスターしたいと思います。
どなたかご助言をよろしくお願いいたします。

回答No.2

metzner

x→+∞の場合だけ考えます。x→ー∞も同様です。
まずf(x)がx→+∞で漸近線を持つとは、
「ある実数m,nがあって
Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0
が成立する」
が定義です。
漸近線を持つと仮定すれば
Lim(x→+∞)1/x*{f(x)-(mx+n)}＝Lim(x→+∞)1/x*Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}＝0*0=0
ですよね。よって
m＝lim(x→±∞)f(x)/xです。
すなわち漸近線を持つならば傾きはm＝lim(x→+∞)f(x)/xで求められる。
直感的には漸近線を持つ場合は遠くで
定数*xとなるので、xで割って傾きを求めていると
思えばそんなに不思議ではないと思います。
では逆にm＝lim(x→+∞)f(x)/x が存在するときに
漸近線の存在はいえるでしょうか?
これはn=lim(x→+∞)[f(x)-mx]の存在を示してはじめて
漸近線が存在すると言えます。
ではm＝lim(x→+∞)f(x)/x が存在するとき、
自動的にn=lim(x→+∞)[f(x)-mx]が存在すると一般に言えるでしょうか?考えてみてください。
(具体的なf(x)があたえられれば、mを計算してみて、m
が収束していれば、次にnを計算してみて、収束していればめでたしめでたし漸近線となるわけです。)

お礼

御回答ありがとうございます。
御回答を読ませていただいてなんとなく納得しました。
ｍは傾きだからということですね。
しっくりこないところは、これから練習問題を解いて解決していきたいと思います。ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

>どうしてｘで割っているんでしょうか？

「そうすれば、mが求まるから」としか言いようがありません。

漸近線を求めるためには、Lim[x→±∞]{f(x)-(mx+n)}=0となるようなm,nを見つける必要があるのですが、
「そのようなm,nをどうやって求めるか」というのが問題となります。
具体的にm,nを代入してみて,x→±∞で0に収束するかどうかを調べるのは、現実的とは言えませんからね。

>m=lim(x→±∞)f(x)/xであるといえる。
の部分はとにかく、「lim(x→±∞)f(x)/xを計算すればmが求まる」という事を言っていて、

>mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、これとlim(x→±∞)n/x=0より
の部分は、
「lim(x→±∞)f(x)/xを計算すればmが求まる」という事の証明(説明)ですね。

お礼

御回答ありがとうございます。
＞「そうすれば、mが求まるから」としか言いようがありません。
そうなのですね・・・。私は両辺のうち一方だけにかけてあるので？と思ったのですが・・・。ありがとうございます。